梅森数探索点滴 广义梅森素数表

wlc1

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如果整数a>1，p是质数，

求证：(a^p -1)/(a -1)=Z=(2k1p+1)*(2k2p+1)*....*(2knp+1) .

yangchuanju

wlc1 发表于 2022-2-2 19:57
如果整数a>1，p是质数，

求证：(a^p -1)/(a -1)=Z=(2k1p+1)*(2k2p+1)*....*(2knp+1) .

请参看《梅森素数的判定》19-20贴。
http://www.mathchina.com/bbs/for ... page%3D1&page=2

大傻8888888

FF        113        35        10384593717069655257060992658440191<35>=3391×23279×65993×1868569×1066818132868207<16>
3391-1=3390=113×30
23279-1=23278=113×206
65993-1=65992=113×584
1868569-1=1868568=113×16536
1066818132868207-1=1066818132868206=113×9440868432462
由上面可以看出如果2^p-1有素因子，则这些素因子都是2np+1形式的素数 。如果没有2np+1形式的素因子则2^p-1是梅森素数。

yangchuanju

大傻8888888 发表于 2022-2-12 21:40
FF        113        35        10384593717069655257060992658440191=3391×23279×65993×1868569×1066 ...

梅森数都是模8余7的，但它的素因子即有模8余7的，也有模8余1的，没有模8余3和余5的；
梅森数都是模6余1的，但梅森数的素因子即有模6余1的，也有模6余5的，没有模6余3的（它不是素数）。
梅森数的因子（素因子和合数因子）都是2mp+1形式的整数，进一步是8kp+1、(8k+2)p+1、(8k+6)p+1形式的整数，但没有(8k+4)p+1形式的整数。
当指数是模4余3的素数时，为8kp+1和(8k+2)p+1的形式；当指数是模4余1的素数时，为8kp+1和(8k+6)p+1的形式。

113模4余1，它的5个素因子减去1，再除以113的商中第1,2,5个商模8余6，第3,4个商模8余0。

yangchuanju

360个人图书馆  梅森数及梅森素数（节录）
在2^N-1的数列中，一个素数作为素因子第一次出现在指数N的数中，这个素数作为因子数在2^N-1数列中以N为周期出现。
    一个梅森合数的因子数只有唯一一次出现在一个梅森合数中。
    一个是梅森素数的素数，它永远不是梅森合数的因子数。
    一个是前面的梅森合数的因子数，它永远不会是后面的梅森合数的因子数。
    所有梅森合数的数因子减1都能被这个梅森合数的指数整除，商是偶数。
    梅森素数都在（1+4+16+64+。。。。。。+4A）*6+1数列中（A前项的数），这种数暂时叫它四倍金字塔数，代号A。
    在1+4+16+64+。。。。。。+4A数列中的数，是阳性不等数（不等于6NM+-（N+M））的乘以6加上1就是梅森素数。
在2^N-1数列中指数是偶数的都是3A。

梅森素数的计算公式
    3*5/3.8*7/5.8*11/9.8*13/11.8*......*P/(P-1.2)-1=M
    P是梅森数的指数，M是P以下的梅森素数的个数。
    这个公式是根据梅森素数的分布规律得出的。万数1为首，1被除外了，所以要减去1.在不考虑重叠问题，应该减1就可以了，这里已考虑重叠问题，所以就减1.2.在梅森数的指数渐渐增大，1.2是否合适，还要等实际检验。
    所有的奇素数都是准梅森数（2^N-1）的因 子数，则梅森合数的因子数是只有素数中的一部份。
    在2^N-1的数列中，一个素数作为素因子第一次出现在指数N的数中，这个素数作为因子数在2^N-1数列中以N为周期出现。在这种数列中指数是偶数都等于3乘以四倍金字塔数，3A。
    一个梅森合数的因子数只有唯一一次出现在一个梅森合数中。
    一个是梅森素数的素数，它永远不是梅森合数的因子数。
    一个是前面的梅森合数的因子数，它永远不会是后面的梅森合数的因子数。
    所有梅森合数的数因子减1都能被这个梅森合数的指数整除，商是偶数。
    d梅森素数都在（1+4+16+64+。。。。。。+4A）*6+1数列中，（A前项的数），这种数暂叫四倍金字塔数，代号A。
    凡是一个素数是四倍金字塔数的因子数，以后就不是梅森合数的因子数。
    在1+4+16+64+。。。。。。+4A数列中的数，有不等于6NM+-（N+M）的数乘以6加上1都是梅森素数。

yangchuanju

梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：
1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2^P-1)。即（2p+1）|（2^P-1）；.例如：23|(2^11-1)；11=4×2+3；47|(2^23-1)；47=4×11+3；167|(2^83-1)；,,,.83=4×20+3；。。。。
2，p=2^n×3^2+1,，则（6p+1）|(2^P-1)，例如：223|(2^37-1)；37=2×2×3×3+1；439|(2^73-1)；73=2×2×2×3×3+1；3463|(2^577-1)；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1；，，，。
3，p=2^n×3^m×5^s-1,则（8p+1）|（2^P-1）；.例如;233|(2^29-1)；29=2×3×5-1；1433|(2^179-1)；179=2×2×3×3×5-1；1913|（2^239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1；，，，。
还有一些梅森数分解取得进展，不再一一叙述（王晓明王蕊珂）。

yangchuanju

周氏（周海中）猜测
周氏猜测的基本内容为:
当2^(2^n)<p<2^(2^(n+1))时，Mp有2^(n+1)-1个是素数。
周海中还据此作出推论:当p<2^(2^(n+1))时，Mp有2^(n+2)-n-2个是素数。
(注:p为素数;n为自然数;Mp为梅森数)

周海中还据此作出推论:当p<2^(2^(n+1))时，Mp有2^(n+2)-n-2个是素数(注:p为素数;n为自然数;Mp为梅森数)。

yangchuanju

当2^(2^n)<p<2^(2^(n+1))时，Mp有2^(n+1)-1个是素数                               
n        2^n        2^2^n        2^(n+1)-1        累加
0        1        2        1        1
1        2        4        3        4
2        4        16        7        11
3        8        256        15        26
4        16        65536        31        57
5        32        4294967296        63        120
6        64        1.84467E+19        127        247
7        128        3.40282E+38        255        502
8        256        1.15792E+77        511        1013
9        512        1.3408E+154        1023        2036

指数2-4之间有2个梅森素数2^2-1=3, 2^3-1=7（周氏猜想中第一个梅森素数可能未计）
5-16之间有3个梅森素数2^5-1=31,2^7-1=127,2^13-1=8191
17-256之间有7个梅森素数，指数是17,19,31,61,89,107,127,                               
257-65536之间有15个梅森素数，指数是：                               
521        607        1279        2203        2281
3217        4253        4423        9689        9941
11213        19937        21701        23209        44497
65537-4294967296之间猜想有31个梅森素数（累计58个），已发现51-27=24个，指数是：                               
86243        110503        132049        216091        756839
859433        1257787        1398269        2976221        3021377
6972593        13466917        20996011        24036583        25964951
30402457        32582657        37156667        42643801        43112609
57885161        74207281        77232917        82589933       

yangchuanju

梅森数的素因子只包含部分素数
指数p        素因子q
2        3
3        7
5        31
7        127
13        8191
17        131071
19        524287
31        2147483647

11        23
11        89
23        47
23        178481
29        233
29        1103
29        2089
37        223
37        616318177
41        13367
41        164511353
43        431
43        9719
43        2099863
47        2351
47        4513
47        13264529
53        6361
53        69431
53        20394401
59        179951
59        3203431780337
67        193707721
67        761838257287
71        228479
71        48544121
71        212885833
73        439
73        2298041
73        9361973132609
79        2687
79        202029703
79        1113491139767
83        167
97        11447