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本帖最后由 jzkyllcjl 于 2022-1-27 03:02 编辑
连续函数及其切线图形的绘制方法及其问题
在高等数学教科书中画了许多连续函数的图形，现在就函数 的图形讨论一下，它的划出方法与问题。画的时候，首先可以选择纸上宽2厘米，高4厘米的地方，画出 平面坐标系，在横坐标轴上，0.00，0.01，0.02，……1.99，2.99厘米处，分别作出横坐标轴的垂直线，在这些线上，分别作出函数 对应的点，由于画出的点都有大小，这些点已经连成了一条曲线。由于曲线上点（0.5，0.25）的切线斜率为1，将这点与横坐标轴上0.25连起来的直线就是曲线上点（0.5，0.25）的切线。
上述作图方法行不行呢？第一，上述作图方法是近似的，如果使用纳米技术，可以把坐标轴与曲线画得更细，为此需要学习纳米技术，但笔者没有学过纳米技术，而且一纳米粗的线很难用眼看出来，所以笔者只能说了上述作图方法。
第二，按照现行实数数轴的概念，春风晚霞会再次指责笔者是坚持“点有大小，线段长度测不准，反对点无有大小，反对逻辑推理推出毕达哥拉斯定理、推出无理数的”唯吾主义者。但实际上，笔者不反对毕达哥拉斯定理的证明、不反对使用反证法推出√2是无理数，笔者也不反对“点无大小、线无粗细”的现有几何元素的概念，笔者提出了理想与现实相互依赖的点对立统一如下的定义。
定义1：只有位置而没有大小的点，叫做理想点；理想点具有无法被标志（画）出来的性质；相距0.001毫米的两个理想点是无法画出来的；能画出的表示理想点位置的有大小的点叫做现实性质的近似点；随着误差界序列{1/10^n} 逐渐减小的表示一个理想点的近似点序列叫做全能近似点列；全能近似点列的趋向性极限是理想点。
与这个定义类似，笔者还提出了理想直线、理想射线、理想平面、理想平行线、理想角的概念。由于理想点、理想直线画不出，尺规二等分线段，垂直线的做法都有近似性。所以上述近似作图方法是必须的。
第三，春风晚霞指责笔者不懂数学的特点，他说了：“数学有三个显著的特点：高度抽象性、逻辑严密性、广泛应用性。……借助于严密的逻辑方法来实现数学是“说一不二的。……数学的高度抽象性，决定了其逻辑的严密性，同时又保证了其广泛的应用性”的反对笔者的的意见。但笔者认为：点没有大小是“使用了忽略了画图中点出的点的抽象方法”的理想性说法；有理数是“使用了忽略了测量工作中测不准的微小误差的抽象方法”才得到它们表示线段长度的理想性数学概念，无尽小数1.4142……是从2的开方运算过程中的得到理想实数√2的针对误差界序列 {1/10^n}序列的全能不足近似值数列，1.4，1.41，1.414，……简写，它的不可达到的趋向性极限才是√2，但它本身永远不等于√2。现行教科书中的等式√2=1.4142……是概念混淆的错误逻辑推导的结果。这个等式应当取消。现行教科书中的等式 0.333……=1/3, π=3.1415926……也是这样的错误等式。收敛无穷级数和是其前n项和的无穷数列｛Sn｝的趋向性极限值S，无穷级数 u1+u2+……+un+……表示的无穷次激发运算无法进行到底，现行教科书中等式u1+u2+……+un+……=S是概念混淆的错误等式，应当改写为 lim n→∞ Sn=S.
第四，π与√2、√3的无尽不循环小数展开式都具有永远算不到底的事实，这些展开式的小数点后的位数是无穷多个，关于无穷的概念存在着“实无穷与潜无穷”的两千多年的争论，王宪钧著 数理逻辑引论[M] ]中讲到“实无穷论者认为：无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的；潜无穷论者否定实无穷，认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的，无穷只是潜在的[1]。”这个实无穷观点中的“完成的”定语，违背“无穷是无有穷尽、无有终了事实”。所以，康托尔的“数学必须肯定实无穷”的意见不成立，ZFC形式公理中的“无穷集合存在公理”需要改写为“无穷集合是其元素个数趋向于 ，但永远无法构造完毕的想象性非正常集合”。徐利治先生在文献[2]中介绍了布劳维尔（Brouwer）提出的反例。这个反例涉及到无理数的无尽不循环小数的展开式中的① 这些展开式中没有“百零排（即100个连续的0）”；② 这些展开式中有奇数多个“百零排”；③ 这些展开式中有偶数多个“百零排”的三个命题是不是能行的可判断的问题。关于 可判断问题，在黄耀枢《数学基础引论》（北京：北京大学出版社，1987出版，）讲了：定义1.20(能行可判断性) 如果存在一个算法，使得对所给的公式集合中每一个公式的真假，都能在有穷步数内做出答案，那么我们说这集合中的公式是能行可判断的。根据这个定义，上述三个命题都不是能行可判断问题，猅中律失效。文献[1]中也讲到排中律失效的例子。由于无尽不循环小数展开式具有永远算不到底的不可判断的性质，布劳威尔不能使用两次猅中律，提出一个实数Q，与这个实数 是大于、小于或等于0的无法判定实数的三分律反例，虽然徐利治说过“在实无穷意义下，应用两次排中律可以判断这个实数 是大于、小于或等于0的问题”，但“这个问题不是实无穷问题，究竟这个实数 是大于、小于或等于0呢？的问题是一个无法判断的问题”。所以，徐利治先生最后讲到：“看来，这还是一个不易解决的难题”,“希望对布劳维尔(Brouwer)反例感兴趣的读者继续研究下去”。笔者研究后得到的结论是：根据“无穷是无有穷尽、无有终了的事实”，“百零排”的这三种命题都是由于永远算不到底的不可判断的命题，布劳维尔（Brouwer）不能使用两次猅中律，提出他那个实数Q，这样就消除了布劳威尔这个反例。春风晚霞坚持的“数学表述系统中所允许的方法只有演绎推理的方法，……使用两次猅中律得到的三者有且只有一个命题成立的结论”是无效的，事实是：他无法得到三个命题究竟哪一个成立的问题。这说明：数学理论的阐述，不能单靠形式逻辑，也说明：无尽小数永远写不到底的事实必须受到尊重。
第五，根据恩格斯的“只能从现实来说明”的意见，首先需要知道如下的自然数及其集合的如下的从实践出发的定义。
定义2，空集这个术语，表示没有元素的想象性集合；由确定个数的确定事物为元素组成的整体，叫做现实的正常集合。其中的术语“元素个数”具有忽略现实集合各个元素性质与大小差别的意义，元素个数多少的表达符号叫做理想自然数（在暂时不联系现实数量的纯粹数学研究中可以简称为自然数）。
这个定义下的现实正常集合需要用一篮子苹果、一家人、一班学生等实例进行说明：其中自然数（即元素个数的表达符号）是古代人创造的由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个符号与十进记数法表示的数。由此出发，就有了形式逻辑下，需要的背熟自然数的加法、乘法的运算法则。自然数的表达符号及其运算法则就构成了现行的自然数的初步理论。但在自然数应用时，不能忘掉它们与现实数量的关系，例如; 虽然从纯理论上可以讲：理想自然数10比9大，但还需要知道“9个大苹果比十个小苹果分量大、养分多”。使用自然数表达线段长度的毫米数时，需要知道：“线段长度具有测不准性，使用自然数表示两个线段毫米数的和时，需要进行误差分析”。这个自然数概念的修改说明：自然数理论阐述时，需要使用毛泽东著《矛盾论》中说的“对立统一的法则，是唯物辩证法的最根本的法则”、“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”的论述。也需要使用毛泽东在《实践论》中说的“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环都比较地进到了高一级的程度”的论述。
对于现行教科书称N=｛0，1，2，3，……｝为自然数无穷集合的论述，也需要根据实践讨论它的来源于有穷集合的本质及其性质。首先，根据自然数的十进计数法可以提出如下的三个以有穷集合为项的无穷序列 ：
{0，1}，{0，1，2}，……，{0，1，2，……，n},…… （1）
或{0，1，2，……，9}，{0，1，2，……，19}，……，{0，1，2，……，10n-1}, ……(2)
或{0，1}，{0，1，2，3，4},……，{0，1，2，……， },……（3）
然后使用广义极限的方法，得到这三个无穷序列的趋向性极限是想象性的元素个数为+∞的无穷集合。由于符号+∞是华东师大《数学分析》上册1980年版80 页中讲的“非正常（或称广义）极限[3]”性质的“非正常实数”。序列（1）中各个集合的元素个数为无穷数列{n+1}，序列（2）中各个集合的元素个数为无穷数列{10n}，序列（3）中各个集合的元素个数为无穷数列 ，这三元素个数列的广义极限也是+∞，根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷一分册整序变量的计算不定式,定值法， 与 型不定式定值法计算中都可以使用∞与0的取极限之前变数计算不定式的值。上述三个+∞ 表示的多少是不相同的：（2）式表示的比（1）式表示的元素个数多，（3）式表示的元素个数比（1）（2）式都多。康托尔把无穷集合元素看做定数，提出的无穷基数的做法违背事实；造成了正整数集合1，2，3，……与其平方得到的它的真子集1,4,9,……元素个数相等的做法是错误的，事实上，这两个集合的元素个数分别为： 。使用《微积分学教程》一卷第一分册中，整序变量中的不定式定值法，可以得到两者的比为： 这说明正整数集合1，2，3，……比其真子集1,4,9,……的元素个数多得多；对无穷集合一一对应法则进行不到底，不能使用“一一对应法则”得到无穷集合元素个数相等的的集合论，根据这个讨论，应当提出无穷自然数集合如下定义。
定义3：元素个数为有限理想自然数的正常集合叫做有穷自然数集合；若以有穷自然数集合为项的无穷序列的元素个数序列的趋向为包含所有自然数的元素个为非正常实数+∞的想象性自然数集合，则称：这样的元素个数为非正常实数+∞的含有所有自然数的，不可构造完毕的想象性质的理想性无穷性质的自然数集合；且称它为非正常集合。
笔者还发现：“对无穷集合数学归纳法具有失效的性质”，例如：对自然数集合，可以根据“当自然数n 能被写出时，推出n+1也能被写出的性质”，应用数学归纳法得到所有自然数都能被写出的结论，但这个结论违背了所有自然数无结法被写出的事实，所以“数学归纳法失效”。类似地讨论还说明：有理数集合、实数集合都是元素个数为非正常实数+∞的想象性不可构造完毕的想象性质的非正常集合。现行教科书中“有理数集合与其真子集的自然数集合的有共同基数的元素个数相等”的说法不成立。
无穷集合之间的一一对应法则”进行不到底，想象性无穷集合的元素个数不是自然数，所以对无穷集合不能提出可数与否的术语，它们都是不可数的集合；只有有限集合的元素个数是有限自然数，才可以说是可数集合。闭区间[0,1]表示的理想实数集合也是不可数、不可列的集合，现行实变函数论教科书对这个集合可列或可数的证明无效，因为：它的证明中使用了“无尽小数表示实数的错误做法，它的证明中使用的 是不是等于5的判断是进行不到底的、不可判断问题，反证法不能用”。无尽循环小数0.999……是理想实数1的近似值无穷数列0.9，0.99，0.999，……的简写，它不等于1，它的趋向性极限才是1；在准确到两位小数近似的意义下，区间[0,1]可以是0.00，0.01，，0.02，……0.99，1.00，的101个有理数的这个真正的可数集合；在准确到四位小数近似的意义下，区间[0,1]可以是0.0000，0.0001，，0.0002，……0.9999，1.0000，的10001个有理数的真正可数集合，……，可以是任意多位有尽位十进小数促成的可数集合，其趋向性极限是无穷集合，但极限性无穷集合不能构造完毕。这样就消除了“连续统假设”的大难题。对无穷序列必须知道“它们既具有无限延续下去的性质，又具有永远延续不到底的性质”。
总之，数学理论是描述与研究现实数量大小及其关系的科学；数学理论的阐述，不能单靠形式逻辑，还需要使用：理论与实践、理想与现实、精确与近似、无限与有限、零与非零足够小、形与数、直与曲之间的对立统一、分工合作的唯物辩证法进行。恩格斯的“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了”的论述应当被尊重。
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发表于 2022-1-22 09:02
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