1亿位大素数有可能存在于梅森数2^761838257287-1之中

yangchuanju

太阳试除法正确有效

要判断一个正整数M是不是素数，最基本的方法是埃氏筛法，即用已知的素数p去除给定的整数M；若有一个素数p能够整除M，则M就不是素数；若已知的所有素数都不能整除M，则M就是一个新的素数。
实际试除中并不需要用遍全部已知素数，只需要用遍整数M平方根以内的所有素数即可。

太阳先生采用试除法寻找大素数，寻找梅森素数，属于埃氏筛法范畴，是正确的。
太阳试除法不是原始的埃氏筛法，他根据梅森数的性质做了一个大大的改进，其试除法是正确的，是行之有效的。

太阳先生认为，所有2^a-1形式的正整数都可以表示成连乘积∏(ac+1)，完全正确！
式中a、c都是正整数。以下将a、c交换一下位置，改为∏(ca+1)。
如果指数a是素数，则2^a-1就是梅森数，梅森数自然也能表示成连乘积∏(ca+1)形式。
∏(ca+1)= (c1*a+1)* (c2*a+1) *(c3*a+1)*…* (cn*a+1)
第一个素因子(c1*a+1)是谁，暂时不知，它正是我们要找的。

我们可以令c1=1、2、3……，算出一个数列a+1、2a+1、3a+1……，直至不超过整数M的平方根为止；从小到大用a+1、2a+1、3a+1……逐个试除，只要有整除发生，则能整除的那个ca+1就是整数M的一个因子；若ca+1是素数，则ca+1就是整数M的一个素因子。
由于我们是“从小到大用a+1、2a+1、3a+1……逐个试除”的，所有整除发生时的ca+1一定是个素数。

请注意，上述试除法偏离了埃氏试除法，埃氏试除法用于试除的是素数，我们的试除用的是a+1、2a+1、3a+1……。
稍加改进，算出数列a+1、2a+1、3a+1……后，先行判断一下哪些个ca+1是素数，不是素数的皆免去试除。由于数列a+1、2a+1、3a+1……中的数字都不很大，判断它们中的素数很容易。

梅森数2^a-1的第一个素因子k1*a+1找到后，可用2^a-1除以k1*a+1的商替换原先的被除数2^a-1，使被除数减少一些（也可不换），继续用数列a+1、2a+1、3a+1……中的下一个素数试除之，若有第二次整除发生，则又找到梅森数2^a-1的一个素因子k2*a+1。
继续下去，直至试除至不大于2^a-1平方根或不大于(2^a-1)/ ∏(kc+1)平方根为止。

若整个试除过程一次整除都未发生，则梅森数2^a-1就是梅森素数；
若整个试除过程仅发生一次整除，则梅森数2^a-1是一个二因子素数，第二个素因子是(2^a-1)/ (k1*c+1)；
若整个试除过程发生二次整除，则梅森数2^a-1是一个三因子素数，第三个素因子是(2^a-1)/ (k1*c+1)/ (k2*c+1)；……

太阳先生，您的试除法寻找大素数，寻找新的梅森素数是正确的。
坚持，继续，加油，再加油！！！！
莫灰心，别退场！争取您老在有生之年找到下一个梅森素数，找到一个亿位大素数！

yangchuanju

1亿位大素数有可能存在于梅森数2^761838257287-1之中

761838257287是个12位的素数，2^761838257287-1是梅森数，它有229336167288位（2293亿）。它是不是素数现今尚不清楚。

梅森数2^761838257287-1的平方根是2^380919128643.5≈10^114668083643.88，
判断它是不是素数只需用2k*761838257287+1之类正整数即可，
K=10^114668083643.88/(2*761838257287)=10^114668083631.697

10^114668083644以内素数个数等于10^114668083644 / LN(10^114668083644) = 10^114668083644 / [114668083644*LN(10)] = 10^114668083644 / 264033020041 = 10^114668083632个素数；
素数分率是10^114668083632/ 10^114668083644 = 10^(-11.422)
认定2k*761838257287+1中的素数分率等于整体素数分率，则2k*761838257287+1中的素数个数等于10^114668083620个。

按照太阳先生的试除法，从小到大取定2k*761838257287+1中的各个素数逐一试除吧！
若梅森数2^761838257287-1不是素数，则整除一定会发生，它的素因子将从小到大一个个被找到！其中很有可能含有1亿或大于1亿位的大素数。
若梅森数2^761838257287-1是素数，试除到2^761838257287-1的平方根后仍无整除发生，至此即可判定2^761838257287-1是一个梅森素数，它的位数是229336167288位（2293亿）。

届时，世界级的大奖牌定会挂在太阳先生的脖上了！
预祝老师成功！

yangchuanju

四级宝塔型梅森素数2^(2^127-1) -1
2^3-1=7
2^7-1=127
2^127-1=170141183460469231731687303715884105727
2^3-1,2^7-1,2^127-1形成一个宝塔。
如果2^(2^127-1)-1还是素数，则它便是一个四级宝塔型梅森素数。

2^127-1是一个梅森素数，它等于170141183460469231731687303715884105727，39位素数。
有人推测2^170141183460469231731687303715884105727-1是一个四级宝塔型梅森素数，但未给出证明。

梅森数2^170141183460469231731687303715884105727-1有多大？（多少位数）
这个很容易计算，取指数170…乘以2的常用对数值0.30103立即得到，它是一个5.12175997193696E+37位数。
由于对数值本身是近似数，39位大数乘以一个近似数的乘积再取整加1已无意义。

如果它不是素数，太阳先生还想找一找它的素因子吗？

yangchuanju

51号梅森素数
第51号梅森素数2^82589933-1已经被找到，指数8200多万，位数应该是24862048位吧！将这个梅森素数用宽度5mm的普通字体书写在一张长条纸上，每米书写200个数字，纸条长度为124310米=124.31千米。
假定你的办公楼是一个直径31.83米的圆柱型（周长100米）建筑物，纸条宽度10mm，螺旋型排列到你的办公楼外，每米100圈，尚需排12.431米高（3-4层楼高）。

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-1-19 09:31
1亿位大素数有可能存在于梅森数2^761838257287-1之中

761838257287是个12位的素数，2^761838257287-1是 ...

即使能找到1亿位大梅森素数，也不过是无数个梅森素数中的一个罢了，比起2^a-1形式的正整数是合数还是要少得多。

yangchuanju

大傻8888888 发表于 2022-1-19 11:17
即使能找到1亿位大梅森素数，也不过是无数个梅森素数中的一个罢了，比起2^a-1形式的正整数是合数还是要少 ...

既然大傻8888888老师认为梅森素数无穷多，能否给出数学证明？

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-1-19 11:21
既然大傻8888888老师认为梅森素数无穷多，能否给出数学证明？

我没有这个本事，不过我相信总有一天有人会证明这个问题。

yangchuanju

预测52号梅森素数的指数在91552704上下

梅森素数指数表：
1 2,  2 3,  3 5,  4 7,  5 13,  6 17,  7 19,  8 31,  9 61,  10 89,  11 107,  12 127,  13 521,  14 607,  15 1279,  16 2203,  17 2281,  18 3217,  19 4253,  20 4423,  21 9689,  22 9941,  23 11213,  24 19937,  25 21701,  26 23209,  27 44497,  28 86243,  29 110503,  30 132049,  31 216091,  32 756839,  33 859433,  34 1257787,  35 1398269,  36 2976221,  37 3021377,  38 6972593,  39 13466917,  40 20996011,  41 24036583,  42 25964951,  43 30402457,  44 32582657,  45 37156667,  46 42643801,  47 43112609,  48 57885161，  
48-51#素数：57885161,74207281，77232917，82589933

第51号梅森素数指数是82589933，4811740号素数；第41号梅森素数指数是24036583，1509263号素数；第31号梅森素数指数是216091，19292号素数；第21号梅森素数指数是9689，1196号素数；第11号梅森素数指数是107，28号素数；

梅素号码        指数        素数号        素数差        间距
21        9689        1196        9582        958.2
31        21609        19292        11920        1192
41        24036583        1509263        24014974        2401497
51        82589933        4811740        58553350        5855335
在41-51号梅森素数之间，平均5855万左右就有一个梅森素数；
用31-51间梅森素数的间距回归，可得回归式：y=5267.7*x^2-139241*x-744558
号数x        y        实际间距        指数
31        962231         1192         21609
41        4082565         2401497         24036583
51        8456439         5855335         82589933
52        8962771         预测指数        91552704
53        9481638         预测指数        101034342
54        10013041         预测指数        111047383
预测52号梅森素数指数在91552704上下，53号梅森素数指数在101034342上下，54号梅森素数指数在111047383上下，……

太阳

太阳

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