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P 是 ΔABC 内一点,已知 PA=a ,PB=b ,PC=c ,求 ΔABC 面积的最大值

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发表于 2022-1-18 10:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
P 是三角形 ABC 内一点,已知 PA=5,PB=7,PC=9,求三角形 ABC 面积的最大值。
发表于 2022-1-18 11:21 | 显示全部楼层
由四面体的欧拉体积公式:
\({V_{P - ABC}} = \frac{1}{{36}}\left. {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a^2}}&{\frac{{{a^2} + {b^2} - P{C^2}}}{2}}&{\frac{{{a^2} + {c^2} - P{B^2}}}{2}}\\
{\frac{{{a^2} + {b^2} - P{C^2}}}{2}}&{{b^2}}&{\frac{{{b^2} + {c^2} - P{A^2}}}{2}}\\
{\frac{{{a^2} + {c^2} - P{B^2}}}{2}}&{\frac{{{b^2} + {c^2} - P{A^2}}}{2}}&{{c^2}}
\end{array}} \right.} \right| \)

得到约束条件:
\( - 99225 + 2625{a^2} - 25{a^4} + 2793{b^2} - 7{a^2}{b^2} - 49{b^4} - 567{c^2} + 57{a^2}{c^2} + 105{b^2}{c^2} - 81{c^4} = 0\)

三角形的面积S的平方为:
\(16{S^2} = (a + b + c)( - a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)\)

求拉格朗日条件极值即得唯一解:
\({S_{\max }} = Root\left[ { - 277882232040000 + 14398170569496\# {1^2} - 108642618945\# {1^4} - 1195390732\# {1^6} + 25027020\# {1^8} + 63936\# {1^{10}}\& ,2} \right] \approx 4.93\)
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发表于 2022-1-18 14:34 | 显示全部楼层
算错了,极值为:
\[{S_{\max }} = \sqrt {Root\left[ {115605504 + 414208\# 1 - 62603\# {1^2} + 16\# {1^3}\& ,3} \right]}  \approx 62.49\]
\[a = Root\left[ {25600 + 10400\# {1^2} - 235\# {1^4} + \# {1^6}\& ,4} \right] \approx 13.21\]
\[b = Root\left[ {153664 + 848\# {1^2} - 163\# {1^4} + \# {1^6}\& ,4} \right] \approx 12.27\]
\[c = Root\left[ {46656 - 6512\# {1^2} - 67\# {1^4} + \# {1^6}\& ,4} \right] \approx 10.89\]

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王守恩 + 20 神马都是浮云!

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 楼主| 发表于 2022-1-18 17:07 | 显示全部楼层
creasson 发表于 2022-1-18 14:34
算错了,极值为:
\[{S_{\max }} = \sqrt {Root\left[ {115605504 + 414208\# 1 - 62603\# {1^2} + 16\# { ...

谢谢 creasson大神!劳驾对下面不成熟的想法作批评。

P 是三角形 ABC 内一点,已知 PA=a,PB=b,PC=c,求三角形 ABC 面积的最大值\(S_{\max }\)。

\(\displaystyle通项公式可以是这样:S_{\max}=\frac{a\ b\sin A+a\ c\sin B+b\ c\sin C}{2}\)

\(只要满足\cos A:\cos B:\cos C=a:b:c\ \ 在这里,A+B+C=2\pi\)

\(说明:{a,b,c}可以是任意正数数组,A是a,b的夹角,B是a,c的夹角,C是b,c的夹角。\)

优势在于:无需刻意去求S_{\max},只要解普通方程就可以得到最大值。

\(S=\frac{a\ b\sin A+a\ c\sin B+b\ c\sin C}{2}\ \ \ \cos A:\cos B:\cos C=a:b:c\ \ \ A+B+C=2\pi\)

点评

三角方程不是那么容易解出的.  发表于 2022-1-18 21:16
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 楼主| 发表于 2022-1-19 07:52 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2022-1-18 17:07
谢谢 creasson大神!劳驾对下面不成熟的想法作批评。

P 是三角形 ABC 内一点,已知 PA=a,PB=b,PC=c, ...

谢谢 creasson大神!解三角方程应该没问题?

譬如:a=5, b=7, c=9
N[Reduce[{S == (5*7 Sin[A] + 5*9 Sin[B] + 7*9 Sin[C])/2, 5/9 == Cos[C]/Cos[A], 7/9 == Cos[B]/Cos[A],
A + B + C == 2 \[Pi], A > 0, B > 0, C > 0, S > 0}, {S, A, B, C}]] // FullSimplify
S == 62.4947 && A == 2.26145 && B == 2.08918 && C == 1.93255

简化一下。
N[Reduce[{S == (5*7 Sin[A] + 5*9 Sin[B] - 7*9 Sin[A + B])/2, 9/Cos[A] == 7/Cos[B] == 5/Cos[A + B],
\[Pi] > A > 0, \[Pi] > B > 0, S > 0}, {S, A, B}], 20] // FullSimplify
S == 62.494682676734509727 && A == 2.2614542282815617331 &&B == 2.0891825389191133599

当然,{5, 7, 9}可以换任意正数数组。
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 楼主| 发表于 2022-1-19 10:19 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2022-1-19 10:20 编辑
王守恩 发表于 2022-1-19 07:52
谢谢 creasson大神!解三角方程应该没问题?

譬如:a=5, b=7, c=9

谢谢 creasson大神!还有简单的。

N[Reduce[{S == (5*7 Sqrt[x^2 - 9^2] + 5*9 Sqrt[x^2 - 7^2] + 7*9 Sqrt[x^2 - 5^2])/(2 x),
    ArcCos[5/x] + ArcCos[7/x] + ArcCos[9/x] == \[Pi]}, {S, x}], 20] // FullSimplify

S == 62.494682676734509727 && x == 14.127742614548672320
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 楼主| 发表于 2022-1-19 10:52 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2022-1-19 10:19
谢谢 creasson大神!还有简单的。

N[Reduce[{S == (5*7 Sqrt[x^2 - 9^2] + 5*9 Sqrt[x^2 - 7^2] + 7*9 ...

谢谢 creasson大神!劳驾对下面不成熟的想法作批评。

P 是三角形 ABC 内一点,已知 PA=a,PB=b,PC=c,求三角形 ABC 面积的最大值\(S_{\max }\)。

一般地,可以有

\(\displaystyle S=\frac{a*b\sqrt{x^2-c^2}+c*a\sqrt{x^2-b^2}+b*c\sqrt{x^2-a^2}}{2x}\)

\(\displaystyle其中\ x\ 由\ \cos^{-1}\bigg(\frac{a}{x}\bigg)+\cos^{-1}\bigg(\frac{b}{x}\bigg)+\cos^{-1}\bigg(\frac{c}{x}\bigg)=\pi\ 解得。\)

点评

没什么说的,你喜欢用三角函数解几何题,我喜欢用代数而已。  发表于 2022-1-19 11:26
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 楼主| 发表于 2022-1-19 13:59 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2022-1-19 10:52
谢谢 creasson大神!劳驾对下面不成熟的想法作批评。

P 是三角形 ABC 内一点,已知 PA=a,PB=b,PC=c, ...

谢谢 creasson大神!这样也可以。

N[Reduce[{S == (5*7 Sqrt[x^2 - 9^2] + 5*9 Sqrt[x^2 - 7^2] + 7*9 Sqrt[x^2 - 5^2])/(2 x),
(5*7 + 9*x)^2 == (5^2 - x^2) (7^2 - x^2), x > 0}, {S, x}], 20]

S == 62.494682676734509727 && x == 14.127742614548672320
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 楼主| 发表于 2022-1-19 14:11 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2022-1-19 13:59
谢谢 creasson大神!这样也可以。

N[Reduce[{S == (5*7 Sqrt[x^2 - 9^2] + 5*9 Sqrt[x^2 - 7^2] + 7*9 ...

谢谢 creasson 大神的鼓励!

P 是三角形 ABC 内一点,已知 PA=a, PB=b, PC=c,求三角形 ABC 面积的最大值\(S_{\max }\)。

一般地,可以有

\(\displaystyle S=\frac{a*b\sqrt{x^2-c^2}+c*a\sqrt{x^2-b^2}+b*c\sqrt{x^2-a^2}}{2x}\)

\(\displaystyle其中\ x\ 由\ (ab + cx)^2=(a^2 - x^2) (b^2 - x^2)\ 解得。\)

点评

解出 x 以后只有一个根可用,代入 S 以后表达式太复杂了。有没有更简单的 \(S = S (a,b,c)\) 的公式?  发表于 2022-1-19 20:43
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 楼主| 发表于 2022-1-20 07:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2022-1-20 07:52 编辑
王守恩 发表于 2022-1-19 14:11
谢谢 creasson 大神的鼓励!

P 是三角形 ABC 内一点,已知 PA=a, PB=b, PC=c,求三角形 ABC 面积的最 ...

谢谢 creasson 大神的鼓励!谢谢 天山草 的鼓励!

\(\displaystyle S=\frac{ab\sqrt{x^2-c^2}+ca\sqrt{x^2-b^2}+bc\sqrt{x^2-a^2}}{2x}\ \ \ \ \ x=\frac{x^3-2abc}{a^2+b^2+c^2}\)

\(解出 x 以后只有一个根可用,代入 S 以后表达式太复杂了。有没有更简单的S=S(a,b,c)  的公式?\)
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