重新认识完全数的性质

刘付来

提要：
1.目前人们共认的完全数的七条性质；
2.证明一、三、四、五，七；六条性质是数集\(\left\{ 2^n\left( 2^{n+1}-1\right)，n\in N\right\}\))的性质；
3.结论：性质二才是完全数的独有的性质.

1.目前人们共认的完全数的性质：
一，所有完全数都是三角形数；
二，所有完全数的因数的倒数都是调和数；
三，可以表示成连续奇数立方之和（6除外）
四，都可以表示成2的一些连续正整数次幂之和，而且，它们的数量为连续质数；
五，完全数都是以6或8结尾，以8结尾一定是以28结尾；
六，完全数的各位数字辗转相加，终为1；
七，除6外，它们被3除余1、被9除余1、\(\frac{1}{2}\)被27除余1.

2.证明性质一、三、四、五，七，六属于数集\(\left\{ 2^n\left( 2^{n+1}-1\right)，n\in N\right\}\)的性质.
（1），证明性质一属于数集\(\left\{ 2^n\left( 2^{n+1}-1\right)，n\in N\right\}\)的性质
即证；\(2^n\left( 2^{n+1}-1\right)=1+2+3+...\left( 2^{n+1}-1\right)\)
证明：\(1+2+3+...\left( 2^{n+1}-1\right)=\frac{\left( 2^{n+1}-1\right)\left( 2^{n+1}-1+1\right)}{2}=\left( 2^{n+1}-1\right)2^n\)
证毕.
（2），性质三属于数集\(\left\{ 2^{2k}\left( 2^{2k+1}-1\right)，k\in N\right\}\)的性质.
令\(n=2k\)则：\(2^n\left( 2^{n+1}-1\right)=2^{2k}\left( 2^{2k+1}-1\right)\)
即证：\(1+3^3+5^3+...+\left( 2^{k+1}-1\right)^3\)\(=2^{2k}\left( 2^{2k+1}-1\right)\)
证明：\(\because1+2^3+3^3+4^3+...+\left( 2^{k+1}-1\right)^3=\frac{\left( 2^{k+1}-1\right)^2\left( 2^{k+1}-1+1\right)^2}{2^2}=\left( 2^{k+1}-1\right)^2\times2^{2k}\)
又：\(2^3+4^3+6^3+...+\left( 2^{k+1}-2\right)^3=2^3\left\{ 1+2^3+3^3+...+\left( 2^k-1\right)^3\right\}\)
=\(2^3\times\frac{\left( 2^k-1\right)^2\left( 2^k-1+1\right)^2}{2^2}=2\left( 2^k-1\right)^2\times2^{2k}\)
\(\therefore1+3^3+5^3+...+\left( 2^{k+1}-1\right)^3\)
=\(1+2^3+3^3+4^3+...+\left( 2^{k+1}-1\right)^3-\left\{ 2^3-4^3+6^3+...+\left( 2^{k+1}-2\right)^3\right\}\)
=\(\left( 2^{k+1}-1\right)^2\times2^{2k}-2\times\left( 2^k-1\right)^2\times2^{2k}=2^{2k}\left\{ \left( 2^{k+1}-1\right)^2-2\left( 2^k-1\right)^2\right\}\)
=\(2^{2k}\left( 2^{2k+1}-1\right)\)，证毕.
（3），证明性质4属于数集\(\left\{ 2^n\left( 2^{n+1}-1\right)，n\in N\right\}\)
即证：\(2^n\left( 2^{n+1}-1\right)=2^n+2^{n+1}+2^{n+2}+...+2^{2n}\)
证明；\(\because2^n{,}2^{n+1}{,}2^{n+2}，...2^{2n}.\)是等比数列.
\(\therefore2^n+2^{n+1}+2^{n+2}+...+2^{2n}=\frac{2^n\left( 2^{n+1}-1\right)}{2-1}=2^n\left( 2^{n+1}-1\right)\)，证毕.
（4），证明性质5属于数集\(\left\{ 2^{2k}\left( 2^{2k+1}-1\right)，n\in N\right\}\)的性质.
证明：令\(n=2k\)，则：\(2^n\left( 2^{n+1}-1\right)=2^{2k}\left( 2^{2k+1}-1\right)\)
\(k\)为奇数时，即\(k=2t-1，t\in N.\)这时：\(2^{2k}\left( 2^{2k+1}-1\right)=2^{2\left( 2t-1\right)}\left( 2^{2\left( 2t-1\right)+1}-1\right)=2^{4t-2}\left( 2^{4t-1}-1\right)\)
用数学归纳法证明.
\(t=1\)时，\(2^{4t-2}=4=0\times10+4；2^{4t-2+1}-1=2\times2^{4t-2}-1=0\times10+8-1=0\times10+7\)
\(t=2\)时，\(2^{4t-2}=2^6=6\times10+4；2^{4t-2+1}-1=2\times2^{4t-2}-1=12\times10+8-1=12\times10+7\)
设\(t=m，m\in N\)时，\(2^{4m-2}=a\times10+4；2^{4m-2+1}-1=2\times2^{4m-2}-1=2a\times10+8-1=2a\times10+7\)
\(t=m+1\)时，\(\left( 2^{4\left( m+1\right)-2}\right)=\left( 2^4\left( 2^{4m-2}\right)=2^4\left( a\times10+4\right)=2^4a\times10+64=16a\times10+6\times10+4=\left( 16a+6\right)\times10+4\right)\)\(2^{4t-2}=a\times10+4\)成立，同理\(2^{4t-2+1}-1=2a\times10+7\)也成立.
\(\therefore2^{4t-2}\left( 2^{4t-2+1}-1\right)=\left( a\times10+4\right)\left( 2a\times10+7\right)=2a^2\times10^2+15\times a\times10+28\)
\(\because2^{4t-2}=a\times10+4\)，\(2^{4t}=2^2\times a\times10+2^2\times4\)，\({,}2^{4t-3}=\frac{2^2\times a\times10+2^2\times4}{2^3}=a\times5+2\)
\(2^{4t-3}\)，是偶数，则，\(a\times5+2是偶数，(a\)必为偶数，则\(15a\)必是10的倍数.
\(\therefore2^{4t-2}\left( 2^{4t-1}\right)\)的尾数必为28.
同理可证，\(2^{4t}\left( 2^{4t+1}\right)\)的尾数都为6.证毕
（5）证明性质七属于数集\(\left\{ 2^{2k}\left( 2^{2k+1}-1\right)，k\in N\right\}\)的性质.
证明：数集\(\left\{ 2^{2k}\left( 2^{2k+1}-1\right)，k\in N\right\}\)的数被9除余1.
\(k=1\)时，\(2^{2k}\left( 2^{2k+1}-1\right)=2^2\left( 2^3-1\right)=28=3\times9+1\)
\(k=2\)时，\(2^{2k}\left( 2^{2k+1}-1\right)=2^4\left( 2^5-1\right)=496=55\times9+1\)
设：\(k=m\)时，\(2^{2k}\left( 2^{2k+1}-1\right)=2^{2m}\left( 2^{2m+1}-1\right)=a\times9+1\)，（\(a\))为整数).
当\(k=m+1\)时，\(2^{2k}\left( 2^{2k+1}-1\right)=2^{2\left( m+1\right)}\left( 2^{2\left( m+1\right)+1}-1\right)=2^2\times2^{2m}\left( 2^2\times2^{2m+1}-1\right)\)
\(=2^2\times2^{2m}\left( 2^{2m+1}-1+3\times2^{2m+1}\right)=2^2\times2^{2m}\left( 2^{2m+1}-1\right)+2^2\times2^{2m}\times3\times2^{2m+1}\)
须证\(2^3\times3\times2^{4m}=9b+6\)，（\(b\)为整数）.
证：\(m=1\)时，\(2^3\times3\times2^{4m}=2^3\times3\times2^4=384=42\times9+6\)
\(m=2\)时，\(2^3\times3\times2^{4m}=2^3\times3\times2^8=6144=682\times10+6\)
设\(2^3\times3\times2^{4m}=9b+6\).
当\(m+1\)时，\(2^4\times2^3\times3\times2^{4m}=2^4\left( 9b+6\right)=16\times9b+96=9\left( 16b+10\right)+6\).
即\(2^3\times3\times2^{4m}=9b+6\)成立.
\(2^{2\left( m+1\right)}\left( 2^{2\left( m+1\right)-+1}\right)=2^2\times2^{2m}\left( 2^{2m+1}-1\right)+2^3\times3\times2^{4m}=2^2\left( 9a+1\right)+\left( 9b+6\right)\)
\(=4\times9a+4+9b+6=9\left( 4a+b\right)+10=9\left( 4a+b\right)+9+1=9\left( 4a+b+1\right)+1\)
即：\(2^{2k}\left( 2^{2k+1}-1\right)\)所得的数被9除余1成立.当然被3除也余1.
用同样的方法，可以证明\(2^{2\left( 2t-1\right)}\left( 2^{2\left( 2t-1\right)+1}\right)=2^{4t-2}\left( 2^{4t-1}\right)\)被27除余1.
（6），证明性质6
\(\because2^{2k}\left( 2^{2k+1}-1\right)=9a+1\)，（\(\left\{ 9a+1\right\}\)，是\(\left\{ 9n+1，n\in N\right\}\)的子集.
证明\(9n+1\)所得的数各位数字辗转相加终为1即可.
证明：
\(n=1\)时，\(9n+1=9+1=10，\to{,}1+0=1\).
\(n=2\)时，\(9n+1=2\times9+1=19，\to{,}1+9=10，\to{,}1+0=1.\)
设\(n=k\)时，\(9k+1=...\to...\to=10，\to{,}1+0=1\).
\(n=k+1\)时，\(9\left( k+1\right)+1=9k+9+1=9k+1+9=...\to...\to10+9=19\to1+9=10\to1+0=1\)
即\(9n+1\)所得的数各位数字辗转相加终为1.

3.结论：
除性质二是完全数的独有的性质外（可由完全数的定义证明），其余六条性质均是\(\left\{ 2^n\left( 2^{n+1}-1\right)，n\in N\right\}\)，或子集的属性，
完全数是其中的极少数，说是完全数的性质还勉强说得过去，一但集外出现了完全数，这六条性质就不攻自破。集外是否有完全数，请看：
《求完全数的一般公式和负完全数》一文。