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掌控所有运动规律的原理:最小作用量原理

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发表于 2022-1-13 21:56 | 显示全部楼层 |阅读模式
掌控所有运动规律的原理:最小作用量原理

撰文 | Afiq Hatta
翻译 | Nothing
审校 | Zhenni


拉格朗日量(Lagrangians,简称为拉氏量)是一种数学表达式,它包含了一个物理系统中几乎所有我们关注的信息。拉氏量通常具有对称性,这意味着当我们以某种特定方式转动或移动它们时,它们并不会发生改变。对称性和拉氏量非常重要,因为我们可以利用它们构造守恒量

守恒量是在整个物理系统演化过程中保持不变的可观测物理量。

物理学家喜欢寻找守恒量,因为它们不仅具有深刻的哲学意义,还在解方程过程中非常有用。当你知道有些量保持不变时,用它们可以简化方程的求解。

旋转这样 “平滑”的对称性是连续对称性。诺特定理表明,对于每一个连续对称性,我们都可以构造一个守恒量。例如,如果一个系统具有旋转对称性,我们就可以得到角动量守恒。

更令人惊讶的是,诺特定理可以证明能量守恒是时间平移对称性的结果,时间平移不变性意味着拉氏量本身不显含时间

换句话说,如果物理系统所处的背景不随时间改变,那么该系统的总能量将不随时间改变。


艾米·诺特(Emmy Noether,1882.3.23-1935.4.14)By Konrad Jacobs, Erlangen — CC BY-SA 2.0 de

对称性的概念在力学、经典和现代物理学中随处可见。例如,在量子物理学中,量子力学系统的对称性可以与量子角动量守恒对应。在电子理论中,电子的电荷和自旋守恒源于电子所遵循的对称性。

用数学如何详细描述对称性起的作用?首先,需要解释最小作用量原理,以及如果我们知道了拉氏量,我们如何用它来计算场的行为。

作用量和拉氏量

假设有一个粒子或场,在两个预先确定的时间点 t1 和 t2 之间演化。如果它是一个粒子,我们可以通过绘制一条在空间中延伸的路径来描绘粒子的演化过程,从时间 t1 开始,到时间 t2 结束。如果它是一个场,我们可以想象一个热力图随着时间慢慢演化。



通过这些粒子和场的行为,我们能知道些什么?我们怎么才能知道粒子将走什么路径?在物理学中,我们从一个可以描述物理系统的模型开始,其中典型的一种是拉氏量。拉氏量是一个数学量,它通常写成动能和势能之差,拉氏量在任何时间点都可以给出一个具体的数。我们之所以喜欢用拉氏量是因为它独立于观察者,不随参考系的改变而改变。

观察者是正立的还是倒立的,或者以接近光速的速度移动,这些都不重要。通常,物理量的数值会因坐标选择的不同而不同;然而,拉氏量不随坐标的选择而改变,无论对于哪个观测者,它的取值都是一样的。和参考系无关的这种性质是非常有用的,因为它让我们可以进行清清楚楚的计算。







如何得出物理规律?







欧拉-拉格朗日公式



以下为译者注:

守恒量



本文转载自微信公众号“中科院物理所”。

原文链接:https://www.cantorsparadise.com/ ... action-c84b789c51b6

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