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请教:一个关于反正切函数的无穷级数

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发表于 2022-1-12 10:28 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 baijingqi 于 2022-1-17 09:33 编辑

本人做地震研究相关工作,从断层运动中抽象出一个数学问题,是关于反正切函数的无穷级数无力解决请教各位:

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发表于 2022-1-12 17:23 | 显示全部楼层


参考之。

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 楼主| 发表于 2022-1-13 07:56 | 显示全部楼层
很感谢您的分享,我看明白了您给的证明过程。利用正切函数的三角函数将2/(n^2)分开为两部分,这样就可以裂项相消。
但我还没想明白这个能对我的问题有什么启发。我也在想想。
谢谢
@Nicolas2050
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发表于 2022-1-14 14:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2022-1-15 15:53 编辑

此问题等价于证明下面这个极限。其中 \( a, b \) 都是正数。\(\arctan 是反正切函数\)。



在主帖中令 \(a=x/p, b=x/q\) 即得到上式,这样就将三个变量 \(p,q,x\) 简化成了两个变量  \(a,b\)。

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发表于 2022-1-14 17:02 | 显示全部楼层
2# 楼的参考证明整理如下,是否能对本题有所帮助?

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发表于 2022-1-15 20:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2022-1-15 21:17 编辑

【初等数学讨论】的版主 kuing  发现,楼主那个原式:

当 n 以偶数趋向无穷大时等于 \(\frac{1}{2} arctan(\frac{x}{p}) - \frac{1}{2} arctan(\frac{x}{p+q})\);

当 n 以奇数趋向无穷大时等于\(\frac{1}{2} arctan(\frac{x}{p}) + \frac{1}{2} arctan(\frac{x}{p+q})\)。

经数字验证确实如此,因此楼主在主帖中的那个式子没有极限。
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 楼主| 发表于 2022-1-17 09:28 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2022-1-17 09:29 | 显示全部楼层
天山草 发表于 2022-1-15 20:59
【初等数学讨论】的版主 kuing  发现,楼主那个原式:

当 n 以偶数趋向无穷大时等于 \(\frac{1}{2} arcta ...

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 楼主| 发表于 2022-1-17 09:35 | 显示全部楼层
天山草 发表于 2022-1-15 20:59
【初等数学讨论】的版主 kuing  发现,楼主那个原式:

当 n 以偶数趋向无穷大时等于 \(\frac{1}{2} arcta ...


您好,感谢您,经过您和转述的初等数学讨论的版主 kuing 指点,命题中的n必须是正偶数
现在就要在n为正的偶数的前提下,证明等式,请看上面的帖子,
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发表于 2022-1-17 10:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2022-1-17 11:25 编辑

楼主可去【初等数学讨论】网站的下面这个网页看看,那里有关于你这问题的证明。
http://kuing.orzweb.net/viewthre ... %26amp%3Btypeid%3D4

关于原题为什么可由三元变量降为二元变量,见下图:


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