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发表于 2022-11-27 12:46
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本帖最后由 宇宙无理数 于 2022-11-27 12:49 编辑
由张代远的一个公式引发的思考!
我介绍过汇心几何学中的以下公式.
给定一个四面体, 则该四面体的重心\(G\)与内心\(I\)之间距离的平方为(见“汇心几何学”中的定理26.2.1):
\[G{{I}^{2}}=-\frac{1}{{{S}^{2}}}\left( \begin{aligned} & \left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)A{{B}^{2}}+\left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)A{{C}^{2}} \\ & +\left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)A{{D}^{2}}+\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)B{{C}^{2}} \\ & +\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)B{{D}^{2}}+\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)C{{D}^{2}} \end{aligned} \right).\]
其中\(S^A\)、\(S^B\)、\(S^C\)、\(S^D\)分别是四面体\(ABCD\)的四个顶点\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)的对面三角形的面积；\(S\)是四面体\(ABCD\)的表面积；\(AB\)、\(AC\)、\(AD\)、\(BC\)、\(BD\)、\(CD\)分别是四面体\(ABCD\)的六条棱的棱长；\(\overline{S}\)是四面体\(ABCD\)的表面积的平均值, 即
\[\bar{S}=\frac{1}{4}S=\frac{1}{4}\left( {{S}^{A}}+{{S}^{B}}+{{S}^{C}}+{{S}^{D}} \right).\]
我一直想尝试采用欧氏几何学的方法来证明以上公式, 结果都以失败告终. 于是引发了一些思考.
首先, 什么是欧氏几何学? 如何给欧氏几何学下一个严谨定义? 我查询过一些资料, 没有得到满意的答案. 尽管克莱因曾经采用变换群的角度对于几何学进行过分类, 但是没有解决我提出的如下问题.
问题: 如何采用欧氏几何学的方法证明上面提到的四面体的重心与内心之间距离的平方公式?
尽管目前无法给出欧氏几何学的严谨定义, 但是欧氏几何学一些特征大家都非常熟悉. 例如, 欧氏几何学利用直观图形的元素之间的位置关系进行适当的平移, 旋转, 相似等等的变换, 适当引入辅助线或辅助面, 然后利用全等, 相似等关系直观地从图形(我把这种图形称为“可视化”图形)上显示出人们视觉可见的几何量之间的关系, 再根据这种“可视化”图形推导出几何量之间的公式. 由于给出了“可视化”图形, 就使得几何量的计算变得简单, 或许这就是为什么欧氏几何学中的数学计算过程通常比较简单的缘故. 可见, 对于一个给定的问题, 欧氏几何学的解题过程通常分为两步: 第一步, 建立与问题相关的“可视化”图形; 第二步, 根据“可视化”图形计算出问题的结果.
凡是学习过欧氏几何学的人都知道, 第一步往往是最困难的. 事实上, 对于有些问题, 其几何量之间的关系很复杂, 难以建立这些几何量之间的“可视化”图形. 对于这些复杂的几何量, 期望借助于直观的“可视化”图形方法是很难发现其内在规律的, 因而很难求得问题的结果. 从思想方法上看, 通过“可视化”图形来求解几何问题会有很大的局限性. 即使是科技高度发达的今天, 人类也不知道哪些问题是“可视化”图形方法可以解决的, 哪些问题是“可视化”图形方法无法解决的. 还有, 面对具体的问题, 应该如何进行平移, 旋转, 相似等等的变换? 如何引入辅助线或者辅助面? 欧氏几何学并没有给出统一的方法, 通常都是凭经验来解决问题, 很多情况下都是一题一策, 无法形成统一的思想方法和解题策略.
根据以上的观点, 我提出如下的猜想.
猜想: 采用“可视化”图形方法不可能得到四面体的重心与内心之间的距离公式.
如果以上猜想能够被证实, 或许人们需要重新审视克莱因的几何分类方法.
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发表于 2022-2-27 21:42
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