AO⊥CB，AO=OB=4，BD⊥AC，交 AO 于 E，OF⊥BD，延长交 AC 于 G，∠AGE=∠BGO，求 OC

uk702

等腰直角三角形AOB中，∠AOB=90°，C是BO延长线上的一点，BD⊥AC于D，OF⊥BD于F并交AC于G。
已知AO=OB=4，求OC的长度，使得∠AGE=∠BGO

uk702

看了标准解答，感觉并不难，怎就想不到了呢？

\begin{equation} \begin{split}
\LARGE 解：&过 A 作BC的平行线并和 OG 的延长线交于 H，\\
&易知 △AOH ≌ △FBO，∴AH=OE \\
& \\
& △AGH \ 和\  △AGE \ 中，\\
& AG=AG，∠GAH=∠GAE=45°，∠AGH=∠OGB=∠AGE \\
&∴ △AGH ≌ △AGE，∴ AE=AH \\
&∴ AE=OE=2 \\
& \\
&又易知 △COA ≌ △EOB，∴ OC=OE \\
&∴ OC = 2
\end{split} \end{equation}

uk702

这是我自己想到的一个方法。

\( \LARGE 解：\)
\( ∵ ∠DAG+∠FBA=90°，∠FGB+∠FBA=90° \\ \implies ∠DAG=∠FGB=∠AGE，\)
\( ∴ΔAGE ～ ΔCBA \implies \frac{AE}{AG}=\frac{CB}{BA} \)
\( ∵OG//AC \ \  ∴ \frac{AG}{AB}=\frac{OC}{CB} \implies \frac{OC}{AG}=\frac{CB}{BA} \)
\(∴OC=AE \)

又易证 \(△COA ≌ △EOB\)，故 \(OC=OE，∴ OC=2。\)

luyuanhong

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王守恩

uk702 发表于 2021-9-26 11:33
看了标准解答，感觉并不难，怎就想不到了呢？

\begin{equation} \begin{split}

我还是喜欢这不用脑子的。

\(\frac{OC}{\sin(\theta)}=\frac{4}{\cos(\theta)}\ \ \ \frac{\sin∠FBO\sin∠FOE\sin∠FEG\sin∠FGB}{\sin∠FOB\sin∠FEO\sin∠FGE\sin∠FBG}=\frac{\sin(\theta)\sin(\theta)\sin(2\theta)\sin(\pi/4+\theta)}{\cos(\theta)\cos(\theta)\cos(2\theta)\sin(\pi/4-\theta)}=1\)

王守恩

uk702 发表于 2021-9-26 11:41
这是我自己想到的一个方法。

\( \LARGE 解：\)

清晰的书写会让思路简洁起来。

\(1,△AOC\cong△BOE\)

   \(\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OE}\)

   \(∵AO=BO\ \ ∴OC=OE\)

\(2,△AGE\sim△BAC\sim△BGO\)

   \(\frac{AG}{AE}=\frac{BA}{BC}=\frac{BG}{BO}=\frac{GA}{OC} \)

   \(∵AG=GA\ \ ∴AE=OC\)

\(3,综合1,2,\ \ \ OC=OE=AE=2\)