二次曲线的奥秘？

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

陈九章

陈九章

在网上看到一条优美的曲线，应该是六次曲线，但写不出它的轨迹方程？
敬请陆教授和各位老师赐教！

永远

陈九章 发表于 2022-4-11 18:17
怎么推导？
请陆教授和各位老师赐教！

请问楼主，可否告知这个积分的出处，晚辈不胜感激。

陈九章

经过几个小时繁琐的计算，终于导出了椭圆内接等腰直角三角形斜边中点的轨迹方程，非常复杂，但是，图形非常优美！
辛苦也值得。那图形是我今中午浏览网络时发现的，今晚下班后，挑灯夜战，侥幸得解！

陈九章

那个名博士拥有高深的数学知识和强大的符号软件，竟然没有求出上列轨迹方程，
却让山村教师用“小米加步枪”导出来了。呵呵

陈九章

这是知乎上著名的大魔导师博士用功能强大的Mathematica软件绘制的图形：

https://www.zhihu.com/question/457842157/answer/1874921021

陈九章

大魔导师的求解方法：

永远

陈九章 发表于 2022-4-16 08:31
大魔导师的求解方法：

对于楼上的积分，下面是一网友提供的答案以及我个人整理如下，但有些小细节我不太明白


\[\begin{align}
  \int_0^{\tfrac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{{{({a^2}{{\sin }^2}\theta  + {b^2}{{\cos }^2}\theta )}^2}}}} & = \int_0^{\tfrac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{{{[{{\cos }^2}\theta (\frac{{{a^2}{{\sin }^2}\theta }}{{{{\cos }^2}\theta }} + {b^2})]}^2}}}}  \\
   &= \int_0^{\tfrac{\pi }{2}} {\frac{{d\theta }}{{{{({a^2}{{\tan }^2}\theta  + {b^2})}^2}{{\cos }^4}\theta }}}  \\
   &= \int_0^{\tfrac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sec }^4}\theta d\theta }}{{{{({a^2}{{\tan }^2}\theta  + {b^2})}^2}}}}  \\
  & = \int_0^{\tfrac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sec }^2}\theta d(\tan \theta )}}{{{{({a^2}{{\tan }^2}\theta  + {b^2})}^2}}}}  \\
  & = \int_0^{\tfrac{\pi }{2}} {\frac{{(1 + {{\tan }^2}\theta )d(\tan \theta )}}{{{{({a^2}{{\tan }^2}\theta  + {b^2})}^2}}}}  \\
   &= \int_0^\infty  {\frac{{1 + {x^2}}}{{{{({a^2}{x^2} + {b^2})}^2}}}} d(x) \\
  & = \int_0^\infty  {\frac{{\tfrac{1}{{{a^2}}}({a^2}{x^2} + {b^2} - {b^2} + {a^2})}}{{{{({a^2}{x^2} + {b^2})}^2}}}} d(x) \\
   &= \frac{1}{{{a^2}}}\int_0^\infty  {\frac{{({a^2}{x^2} + {b^2}) + ({a^2} - {b^2})}}{{{{({a^2}{x^2} + {b^2})}^2}}}} d(x) \\
   &= \frac{1}{{{a^2}}}\int_0^\infty  {\frac{1}{{{a^2}{x^2} + {b^2}}}} d(x) + \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}}}\int_0^\infty  {\frac{1}{{{{({a^2}{x^2} + {b^2})}^2}}}} d(x) \\
   &= \frac{1}{{{a^2}}} \cdot \left. {\frac{1}{{ab}}\arctan \frac{{ax}}{b}} \right|_0^\infty  + \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}}}[\left. {\frac{x}{{2{b^2}({a^2}{x^2} + {b^2})}}} \right|_0^\infty  + \frac{1}{{2{b^2}}}\int_0^\infty  {\frac{{dx}}{{{a^2}{x^2} + {b^2}}}} ] \\
   &= \frac{1}{{{a^3}b}} \times \frac{\pi }{2} + \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}}} \times \frac{1}{{2{b^2}}}\int_0^\infty  {\frac{{dx}}{{{a^2}{x^2} + {b^2}}}}  \\
   &= \frac{\pi }{{2{a^3}b}} + \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{2{a^2}{b^2}}}\int_0^\infty  {\frac{{dx}}{{{a^2}{x^2} + {b^2}}}}  \\
   &= \frac{\pi }{{2{a^3}b}} + \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{2{a^2}{b^2}}} \times \left. {\frac{1}{{ab}}\arctan \frac{{ax}}{b}} \right|_0^\infty  \\
   &= \frac{\pi }{{2{a^3}b}} + \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{2{a^3}{b^3}}} \times \frac{\pi }{2} \\
   &= \frac{{\pi ({a^2} + {b^2})}}{{4{a^3}{b^3}}} \\
\end{align} \]

永远

网上看见有人这样回答：

对于29楼的过程归纳一下就是这样子，本质上可以往下算到n层。但只有这样写你才能明白你不是在死算。要不然当n更大的时候还继续一次次分式展开么。