请问这个多项式是哪个三角函数的值？

ysr

网上见到的如下多项式：
x*(1-(x^2/6)*(1-(x^2/20)*(1-(x^2/42)*(1-x^2/72*(……)))))，


如果是三角函数的值，用程序计算，速度可能是比较快的。

希望老师指点，谢谢！

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

ysr

谢谢教授，非常感谢！
我需要这方面的公式，如果级数收敛快，就可以迅速得到高精度的三角函数值。常规的电脑几乎都是给出15位有效数字，这个精度满足不了需要，在快速傅里叶变换中必须用到三角函数，15位的有效数字只能变换3位数字，最多4位，就是在乘法中把3位数字当一位进行变换，变换后乘数与被乘数对应项相乘（说是叫卷积），然后再逆变换，错位相加就可以，目前我做到了4位一组，程序对2444位*2444位的乘法1.3秒内，可以完成，得到4888位的积，远没有到达毫秒级，人家据说几万位的都可以达到毫秒级。要想再快只有把更多位当一位了，但要求正弦余弦值精度要高，速度必须快，否则得不偿失。我的算法25位的三角函数值需要0.02秒，没有达到毫秒级，更别说用来做快速傅里叶变换了。

如果此公式够快，那就解决问题，可以大幅提高速度。   谢谢！

ysr

luyuanhong 发表于 2021-3-25 11:16
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

谢谢陆教授！我有空试试该方法，并与相关方法比较一下找到个合适的速度快的方法。
非常感谢！

ysr

Private Function jszhxian(sa As String, sd As String) As String
Dim s1
s1 = 1 & String(Val(sd), "0")
s2 = mbc2(Trim(jspaizh(sd)), Trim(jspaizh(sd)), Val(sd))
ssa = mbc2(Trim(sa), Trim(sa), Val(sd))
jss = 1 & String(Val(sd), "0")
s2 = zhengchuqy(mcc2(Trim(s1), Trim(s2), Val(sd)))
s4 = mbc2(Trim(ssa), Trim(s2), Val(sd))
s3 = 1
Do While s3 <= 15

s = mpc2(Trim(s1), zhengchuqy(MCC1(mbc2(Trim(ssa), Trim(s2), Val(sd)), Val(s3 ^ 2))))
jss = mbc2(Trim(jss), Trim(s), Val(sd))
s3 = Val(Val(s3) + 1)
s5 = zhengchuqy(MCC1(mbc2(Trim(ssa), Trim(s2), Val(sd)), Val(s3 ^ 2)))

Loop

jszhxian = mbc2(Trim(jss), Trim(sa), Val(sd))
End Function




'程序做出来了，没有运行试验，其中的x^2/ π^2可以看作常数，虽然复杂其实计算不用多少时间，关键是迭代次数要少，就是k的值小就快，就是程序中的s3要小。等会儿实验一下能不能运行暂时发一下代码。（不知道对不对，需要调试）

ysr

这个公式收敛速度不快？迭代15次就是当k=15时，结果仅仅精确到点后3位，用时2秒（当然我的电脑空间小了，垃圾太多，运行慢了，在运行快的电脑上也是超过了一秒的），结果如下：
500896567096700494694813084679290939614999999146969366298035291816580843533382303384923332235021330562809447941955368022433957148976136730429887056113有150位，用时2.171875秒.（这是30度的正弦值）

需要换个法，用万能公式试试？先求半角的正切值，先弄个正切函数程序吧。

ysr

25位数字的倒是快些但结果不精确：5008965670967004946948129有25位，用时0.0703125秒.
准备修改算法，有快速收敛的吗？正切函数的级数展开式好像收敛速度快？

ysr

50089656709670049469481308467929093961499999914696有50位，用时0.2578125秒.
50位的也不快，基本就是这个数量级了，没有法，继续找资料吧。

迭代次数改为30次的结果：50045554228633489523230223540356109778421449173313有50位，用时0.4453125秒.

迭代100次：50045554228633489523230223540356109778421449173313有50位，用时0.4453125秒（运行时间长了，结果仍然不准）

迭代500次：50013821592267681228007419149764218616197072267261有50位，用时1.195313秒.

迭代1000次：50001388213953369388965824255602256779390984202795有50位，用时11.41406秒（仅仅准确度提高了一位，时间增长了10倍），所以，需要改进。

ysr

万能公式：sinα=2tan(α/2)/(1+(tan(α/2))^2),cosα=(1-(tan(α/2))^2)/(1+(tan(α/2))^2).

重点，正切函数的级数展开式：tanx=(0.().(). …… .(tn.x^(2n-1)/(2n-1)!)|B2n|其中|x|<π/2.
tn=1,2,16,272,7936,353792,…….

tn 是用伯努利数Bn表示的。

ysr

由于伯努利数没有简单的算术表达式，（资料显示）演算和推导伯努利的公式是很复杂的，我无法用公式给出，所以，可以提前储存这一个数列，用一维数组储存，迭代一次取出一个，如果收敛速度快就可以用有限个就行了，收敛速度慢的话那就只好另寻它法。