绝地逢生 艰难历程

波斯猫猫

                                                        绝地逢生 艰难历程
                                                        ——四色定理理论证明的历程
        1980年9月的一个周末，在小小县城新华书店看到一本少儿读物，《科学的发现（3）》——六大数学难题的故事，甚是喜欢。于是，花三毛四分钱把它买了。书中对每个问题以若干个小故事的形式，逐一介绍了古代和近代三大数学难题，近代的是费尔玛大定理、哥德巴赫猜想和四色问题（任何一张平面地图或球面地图，至多需要四种颜色，能使相邻的国家着上不同的颜色。）这是小学生都能理解的。四色问题也称四色猜想、四色定理。1852年，英国一位大学生古德里首先提出了这个问题，至今尚未获得理论证明。上个世纪70年代，美国学者借助计算机解决了四色问题。对此，业界持有两种观点，一是不予认可（计算机证明相当冗长，并且不可阅读和人工检视，程序运行的正确性难以得到保证，可信度受到强烈的质疑，也丧失了数学应有的规范和价值，被视为暴力数学），二是认可（希望能找到一个简短的纯数学理论证明，这是人类对四色问题追求的终极目标）。
       在以后的岁月里，并没有把这些“故事”当回事，也没有想着要怎么样对其研究一番，只是时不时的要把这本书拿来看看，欣赏欣赏里面的故事情节和前人所展现出来的科学智慧，以及人类在数学方面所面临的一些挑战。
       斗转星移，时空变换，33年过去，弹指一挥间。在2013年最后一天的下午，心情和天气一样阴冷。漫漫麦城路，囧途何时终。为了转移心情，信手取来这本书翻阅，在“36莫尔根的错误”中，被他成功证明了“不可能有五个国家处于这样的位置，其中每个国家都和其它四个国家相邻”的结论深深吸引。由此，一个念头在脑海里反复闪现，并不断地问自己：我能证明四色问题吗？估计能！试试看吧。第二天，在办公室的电脑上一查（到现在也不大会使用电脑），好家伙，网上还有这么多各行各业的人在研究这个问题，并且干得热火朝天的，其中有不少人已经研究了三四十年。于是，兴趣大增，决定一试。
       初看这个问题，好像并不是那样高深莫测，可随着了解的不断深入，才知道难于上青天，让人望而却步，要不怎么经历了160多年，至今还尚未获得公认的理论证明。是人类智慧不够吗？是历史上中外数学家不够优秀吗？非也！从发生的历史看，也许是方向不大对头（其主流的官科，基本上是追寻肯普的理念和思路在进行，就是上世纪70年代美国人借助计算机的证明也是源于肯普的理念和基本思想。先入为主，前赴后继，从众心里，难以创新。）采用的理论（或新的理论，如图论）未必恰当，大家看到这是个难题，并且感觉越做越难，就形成了越拔越高的思维定势，导致图论得以建立，其理论得到迅猛发展，如此等等，但仍无济于事。历代围剿“四色瘟疫”的军团可谓有战斗之功，而无胜利之果。事实上，在科学探索的道路上，除了要具备博大精深的专业知识、得当的方法和刻苦钻研的科学精神外，如果“运气”和“灵感”如幽灵般的降临在你头上，那成功的机率就大多了。
解决这个问题大致可以分为三个阶段。
       第一阶段，从2014年1月至2017年5月。在约3年半的时间内，由于对四色问题根本就不大了解，也没有这方面的任何参考资料，全凭自己的理解和想象，就着手干了起来。现在想来就很可笑，真是不知天高地厚。不过在当时，的确是把四色问题当成既是难题又不是难题，只不过比普通的数学题要难一些而已。
       通过思考分析，认为宜采用第二数学归纳法来解决问题，在短时间内，就做出了“证明”，把所形成的文章投稿至中国科学院《科学智慧火花》。如此反复多次，均被退稿。看看吧，夜郎自大了不是，这并非小儿科。心里十分明白，再这样糊弄下去，不会有什么好的进展，也不会得到正确的研究结论。于是，就在网上广为搜寻和查找相关资料，这样，就知道了四色问题基本的来龙去脉，同时发现除少数官科研究者外，其他研究者多为民科（专业水准不够合格的高中生），也有大专院校工科的退休专家学者，有的研究途径采用的是图论方法、有的研究途径采用的是“想当然”，总之，方法五花八门，各自为阵。虽然大多数都不大看得懂（主要是词不达意，逻辑混乱），但其中明显存在的问题还是知道一点，包括有的在数学期刊上发表的。这段时间最大的“收获”是较为流行的“偶圈用两色，奇圈用三色”，这个显然的“真命题”，却是个坑人整死人不填命的伪命题，在我的头脑里待了近两年，还深信不疑。直到构造出一幅20多个国家的地图的反例，才被踢出，真是害人不浅。这期间，几乎每个月就要向中国科学院《科学智慧火花》投一次稿，总之，毫无例外的通通被退，审稿专家称其“不符合栏目定位”——即证明是错的（作者注）。面对这样的情况，真是骑虎难下，多次欲放弃，业余时间还是想与钓友去钓钓鱼为好，那个氛围要比这强多了。但每到这个时候，总有一种莫名的感觉，好似有一种神奇的无形的力量推着你往前走，又仿佛在幽静的远方有个人一直在注视着你：努力吧！再试试，功夫是会不负有心人的，好消息在等着你呢！那好吧，就冲着这神秘的“呼唤”继续前行，努力去完成应做的功课，否则将无颜“以对”，辜负其特殊的希冀。这个神秘的力量一直伴随着整个研究过程。在网上，在津某985著名高校的一位退休博导（计算机专业）曾建议采用图论的方法研究为好。于是得到了东北网友小草（资深研究者刘福）的帮助，他给作者寄来一本图论入门小册子，学了几天，确实简单，但一点兴趣也没有，半月后寄回。再次放弃了用图论的方法进行研究。在近3年的时间里，用那坑人的“真命题”设置过一些所谓的公里、着色原则和着色模式等等，进而做出不少的“证明”，结果也没有任何进展，得到的几乎全是经验和教训。但是，这个问题使我正真明白了其难度真的不容小视，似蜀道之难，难于上青天。要想解决它谈何容易！更意识到肯普定理的重要性和对五构形处理的关键性。更重要的是，这期间，在中国科技论文在线和其它网络上，发现在京某985著名高校的博导也在深入研究该问题（研究已有30余年，共分五个系列，在中国科技论文在线展示），采用的也是图论方法，并看到了他的一段很详细的“综述”，几乎把100多年研究四色问题的整个历史呈现了出来。这太可怕了，令人毛骨悚然，不寒而栗。看到了四色问题的历史长河中到处都是黑滩恶水，险象环生。难怪人类一代一代的图论或离散数学等领域的专家学者组成的正规军团全军覆灭，他们虽有战斗之功，但无胜利之果。于是，在2016年4月底的博文《说说用数学方法解决四色问题》就表明了必须回到“原始”状态，另辟蹊径，从零开始，要起点低，要原汁原味，要通俗易懂，尽量避免理论爬高，证明尽力初等化。否则，势必掉入某个或多个陷阱（中国图论泰斗、数学家张忠辅曾如此警告），使该问题难以得到解决。
       第二阶段，前几年的工作虽然失败，但不是一点收获也没有。如引理1和二、三、四构形等的成功证明，还积累了一些经验和思考方法。人们不是常说，失败乃成功之母吗。在转机到来之前，个人的知识显得是那样的贫乏，个人的智慧是那样的江郎才尽，个人的力量是那样的弱小，独自前行在充满未知的“四色”旷野中。没有同道者，没有交流的机会，似进入了一望无际的原始丛林，无法辨别方向，无路可走，危机四伏，一直处于孤立无援的境地，…。真正的转机是在2017年5月至6月间，在这两个月时间里，绝地逢生，“运气”和“灵感”如幽灵般的频频降临，不仅找到了“在Q及其五个邻国的外部有五个至十个国家与这五个邻国相邻的情形有135种基本情形”，还发现了由两国或三国形成的“圈”在着色和换色方面的妙用，可谓神奇无比，如获至宝。使我找到了解决关键问题的钥匙。接下来就是，整过论证方案就需要重新思考、设计、布局，还需要提前尽量考虑到某些细节的处理，怎样才能使得论证过程较为简洁明快等等。可以这样说，在全是原创的情况下，每一个细节、每一个起点、每一个转折点或者每一个数据的设定，甚至每一句话的表述都让人竭尽心力，小心以对。步步惊心，披荆斩棘，容不得丝毫差错。为了保证与学术共同体和科学共同体的一致性，对推理论证的分类、逻辑性和严谨性也是如此严格要求。诸如肯普定理的用法、五个概念的定义、引理2和引理3的设计及证法等，这些引理将用在何处、起什么作用。证明四色定理时，该怎样层层分类，并做到分类不遗漏不重复，怎样做到层次清晰，怎样叙述才能通俗易懂，如此等等。整个暑假没有时间休息，战高温斗酷暑，一切皆顺理成章，梦幻般的奇迹频频出现。好在职业高中的教材在上世纪末就引入了数理逻辑初步（先于普高），通过教学，对特称命题和全称命题等数理逻辑有了更深入更广泛的理解，这时信手拈来，为我所用，在表述方面一路畅通，受益匪浅。这样，就初步形成了三篇系列文章，共有8000多字。这是因为中科院《科学智慧火花》限制文章不能超过3000字。经反复修改，再投至《科学智慧火花》，这样至少反复了两次，还是被无情地退稿。称：请给其它网友留下发表文章的空间，并明确要求把系列文章整理成一篇想要表达的主要观点和主要思想。时间到了2018年6月，迫于无奈，就狠心的、心疼的大力删改。可这是个要命的活，要把8000多字的理论证明缩减成不超过3000字的“概述”，那将是个什么样的东西？怎样的一个状况？这样做能靠谱吗？这不是在开玩笑吧！？使得作者进退两难，尴尬至极。对于提出这样的过分要求，在数学史上即使不能说绝无仅有，恐怕也是极为罕见的。功夫不负有心人，最终删改成功，于2018年6月以《探索四色定理的数学证法》（修改稿）为题投稿中科院《科学智慧火花》，2018年8月19日刊发（http://idea.cas.cn/viewdoc.action?docid=64713）。在刊发前，根据最后要求，必须把文章附图上的文字调整到正文上去（正文已有3000字，对出现频率较高的专业术语和语句都是用符号表示的，为了节约字符，甚至标点符号是用中文或英文两种方式输入，已达到极限。）我的天！这么一个小小的动作，从8月18日到19日，就折腾了约30个小时，且没有休息和睡觉。
       第三阶段，作者明白，文章发表后，仅表明是一个初步结果，以学术惯例，必须回头看，必须经过时间的检验。稍后，是作过一些反思，但不是很深刻，想休息一下了，主要想的是自然有中科院、或其它高校和科研院所相关领域的专家以及网友会高度关注，并做出相关评论。若有人提出问题，只需及时予以回复或解答即可。这样，事情就变得简单多了，省事多了。可事实却恰恰相反，虽有几千人次浏览（含先前科学网上的。后来《科学网》成了别人家的，再后来不知怎么就出现在《科学前线》上了，里面有10多位非数学专业的专家推荐阅读，其中就有院士施一公。现在也找不到《科学前线》了。）但全是观棋不语者，与其它网上“战天斗地”的氛围截然不同，况且官科的专家学者也是如此（深信！不可能相关领域的一个专家学者也没有去浏览、阅读。若是这样，其学术状态也是可怕的）。到了2019年3月，时间已过半年，仍然冷冷冰冰，无人问津，栏目的宗旨“汇集科学智慧，促进科学发展”似乎成了一个做秀平台。求人不如求己，完善之事，还得靠自己。发现问题和处理问题，在20天内完全搞定，修订完善了引理2的证明和一个极端情形的处理；弥补了唯一的一个漏洞，即涉及到“在Q及其五个邻国的外部有五个至十个国家与这五个邻国相邻的情形有135种基本情形”中被遗漏了一种情形（竟然遗漏了，还让人神不知鬼不觉。遗漏了也算个好事，如果真的不被遗漏，就是神仙也不能将其删改成不超过3000字的证明）。把形成的文章《为了<探索四色定理的数学证法>更完美》，投至《科学智慧火花》，经专家审阅后发表在评论中。至此，四色问题的理论证明问题得到圆满解决。
       现在回过头来再看看，在这四五年内，想起整个研究过程就后怕，2014年1月1日开始入门学习和研究，从2014年3月16开始向中科院《科学智慧火花》投稿到2018年8月19日刊发，历时4年又5个月，共投稿51次（修改数百次，几乎平均每个月正式投稿一次），咨询或请求14次（自始至终，匿名审稿专家从不指出稿件中所存在的任何问题，全靠作者自己发现问题和解决问题。每次退稿仅称“不符合栏目定位”，这恐怕是审稿专家有意专门考察作者自身的定力？）仅画草图所用纸张就有数千张，图形数十万个。另外，整个论证过程有几个奇特的现象，让作者难以释怀：1，几乎所有先前看过相关博文的网友都称看不懂，除大部分数学水平极低之外，其原因当然就是没有进入其理念。其中，在津某著名985高校的相近专业的一位退休博导，在较深入研究过作者的部分博文后，为此专门写了几篇博文，并称，要进入作者的理念确实难，需要花一定的功夫和时间。这恐怕就是原创的“厉害”之所在吧，即使再初等、再通俗；2，思考和证明过程都是围绕图形来进行，几乎不需要借助其它高深的数学工具或方法；3，论证过程（1）几乎没有用到已有的数学概念和数学理论（常识性的除外），（2）几乎没有用到数学符号和数学式子来演算或推理，全是用的一些“哪些国家可视为一国、哪些国家形成一个圈、哪些国家可以怎样着色或可以怎样换色以及怎样操作等”文字性的语言来推理论证；4，从完整的证明过程看，四色问题的理论证明，无论从那个角度审视，都不应该成为超过一个半世纪而未解决的世界级难题！？百多年来，恐怕只能说明数学家们真的没有穷尽所有可能的途径或方法！所以说人的大脑和思维永远是个谜。5，上世纪70年代不可阅读不可人工检视的计算机证明或90年代该证明的改进，被业界有的学者称之为所谓的数学新思维新方向新方法的一个典型案例（有学者视其为暴力数学，见百度百科《暴力数学》。）给予如此高的评价，相较于本证明，应当怎样评价计算机的功能及其作用？6，如果作者现在才开始研究四色问题，恐怕也是一事无成，可能走不出几步，就要歇菜！这些奇特的现象，到底是怎么回事呢？我想，合理的解释应该是：谋事在人，成事在天；或者似乎是：天意不可违，事必顺天意。这种解释也与历史上获得成功的“大家”在获得某个重大成果当时的情形大致相吻合，都带有一定的神秘性和偶然性。如：阿基米德发现浮力定律，牛顿发现万有引力定律，门捷列夫发现元素周期表，著名华人数学家张益唐突破孪生素数猜想的某个关键细节。相反的案例是美国著名数学家赫伍德，他在青年时期，就推翻了证明四色问题第一人肯普的证明，并借助肯普的理论和方法成功证明了五色定理。但他终身未能证明出四色定理。
       买书是偶遇，翻书于无奈，研究属偶然，成功在坚持，坚持靠缘分。时间、时机、灵感和运气都是不可或缺的。
       如果没有电脑，用笔和纸按传统的方式来研究并书写证明，在当今信息时代那是件不可思议的事，人力根本不可能胜任其海量的工作量和劳动强度（反复修改、重写、重抄，并保证不出错）。在这个过程中，如果不借助电脑写作，估计要不了多长时间，人的信心和意志力势必消磨殆尽，是绝对完不成功课的，定不能成功。除非是职业人士中的专家学者。
       看看整个研究过程，自己想来就害怕不已。如果想用此方式反复投稿到相应的国家级顶级的数学核心期刊（非国家级期刊交钱就发表，而不管对错），那根本就是天方夜谭，痴人说梦。异想能开天吗？顶多两个来回，必被拒于千里之外！根本不可能给你四五年的时间和50多次机会。
       中科院科学智慧火花栏目的确为民开辟了一个展示科学思想的窗口，值得点赞！愿中科院《科学智慧火花》进一步提升其信誉度、美誉度和知名度，进一步体现中国最高科学和学术殿堂的大格局、高品位、前瞻性以及绝对的权威性。

       附：
       1.中国数学梦
       世界近代三大数学难题（四色猜想、哥德巴赫猜想、费马大定理）之一的四色猜想于1852年提出。1976年，美国学者借助计算机证明了四色猜想，成为四色定理。其证明过程相当冗长、十分繁难，且不可人工阅读和检视。业界的终极目的是要找到纯理论证明。在四色问题的历史长河中，不少世界著名数学家为之呕心沥血，有的甚至毕其一生，虽有战斗之功，而无胜利之果。
作者——钟情数学，致力创新。偶遇四色问题，五年坚持，五年心血；挑战自我，挑战极限；修改数百次，投稿数十次。首次纯数学证明以《探索四色定理的数学证法》（理念独特、理论原创、方法经典）为题，于2018年8月19日在中国科学院《科学智慧火花》上正式发表。感谢时代，信息时代为人们工作节约了大量的人力资源和物质资源；感谢中科院的专家。五年来，他们不辞辛苦，任劳任怨，一次次审稿、退稿，其责任心、科学精神和坚持的科学标准令人称道。他们不仅是科学殿堂里的学术权威，更是该项研究成果的见证者、传播者。中国数学梦正一步步实现。愿中国由数学大国成为数学强国！愿中国数学走向世界！走向未来！
       2.内蒙古包头市第二十四中学、第九中学物理教师陆家羲事件，在上世纪60-70年代，由于当时的情况及环境相当特殊，中科院没有把握好陆所给的若干次机会，造成了不可挽回的重大损失，令国人实在痛心。多年后，幸运的得到数学家吴文俊等的关注，其研究成果最终得到国家认可。于1989年3月，其妻张淑琴代表陆家羲参加了在北京人民大会堂隆重举行的"1987年国家自然科学奖颁奖大会"，接受了中国自然科学界的最高荣誉--国家自然科学奖一等奖.祥见：陆家羲百度百科或陆家羲360百科。天朝的学术氛围“你懂的”。
                                                   

denglongshan

就是说，证明了？我提出的理论体系，曾经被数学所否定，后来虽然在有一定影响力的国际会议发布，至今似乎对学术界影响不大。

波斯猫猫

应重生888@之邀。