判定梅森质数的卢卡斯序列

蔡家雄

判定梅森质数的卢卡斯序列

卢卡斯级数的通项公式

Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]

L1=2,
L2=7,
L3=97,

L4=18817=(2^5 -1)(2^5*19 -1)=31*607 = 两个梅森质数的乘积，

并且：2^31 -1 与 2^607 -1 同为素数。

即有：2^30*(2^31 -1) 与 2^606*(2^607 -1) 都是 完全数。

L5=708158977,

L6=1002978273411373057

   =(2^7 -1)(2^7*61698958748239 -1)

   =127*7897466719774591 = 两个梅森质数的乘积，

已证：127 和 7897466719774591 都是素数，

已证：2^127 -1 是素数，据此 7897466719774591 是梅森素数，

即有：2^126*(2^127 -1) 是完全数，

以及：2^7897466719774590*(2^7897466719774591 -1) 是 完全数。


定义：若 15k±2 和 15k±4 是 四生素数，则称 15k 为 双中数。

奇数双中比猜想：一奇数均可表为两个双中数之比。

3 = 83226465 /27742155,
5 = 335769525 /67153905,
7 = 105 /15,
7 = 12812415 /1830345,
7 = 198328725 /28332675,
7 = 232772925 /33253275,
7 = 639984345 /91426335,
9 = 163690065 /18187785,
11 = 167563935 /15233085,
11 = 355547115 /32322465,
11 = 465281355 /42298305,
11 = 530037585 /48185235,
11 = 939524355 /85411305,
13 = 195 /15,
13 = 29332485 /2256345,
13 = 111730905 /8594685,
13 = 236441205 /18187785,
13 = 273511875 /21039375,
13 = 504179325 /38783025,
13 = 535519335 /41193795,
13 = 629859945 /48450765,
13 = 689057265 /53004405,
13 = 1052584455 /80968035,
13 = 1112223645 /85555665,
15 = 22275 /1485,
15 = 5922225 /394815,
15 = 92043225 /6136215,
15 = 235840725 /15722715,
15 = 453530925 /30235395,
15 = 1114341075 /74289405,
17 = 55335 /3255,
17 = 570791235 /33575955,
17 = 1610046795 /94708635,
19 = 277011735 /14579565,
19 = 331435335 /17443965,
19 = 396695775 /20878725,

蔡氏8生素数猜想：设 (2n+1) 为任一奇数，

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, (2n+1)p+8n, (2n+1)p+8n+2, (2n+1)p+8n+6, (2n+1)p+8n+8 均有解。

奇数双中比猜想与此蔡氏8生素数猜想是等价命题。是中国人首先提出来的，

已知：15a±4 、15a±2 与 15b±4 、15b±2 均为 8生素数,  (a≠b , k>1)

待求：15ak±4 、15ak±2 与 15bk±4 、15bk±2 也是 8生素数，均有解。

【有理数孪中比猜想 与 奇数双中比猜想：发现于2019年5月】


素数阶乘的七生素数，有 无限多组 ！！！

（ p , p+5! , p+7! , p+11! , p+13! , p+17! , p+19! ）

——此猜想为的是体现 (5, 7, 11, 13) 是特殊的对称4生素数。

因为对称10生连续素数(105k±2, 105k±4, 105k±8, 105k±16, 105k±32)

的中项105k 均能被(3*5*7*11*13)整除，故而构思此猜想。


蔡氏偶数分拆

设 2n >=64，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -30 , p4=p1+30 都是素数，

则 2n -30=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+30=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数分拆

设 2n >=280，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -210 , p4=p1+210 都是素数，

则 2n -210=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+210=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。


蔡氏偶数分拆

2n>=2^16=(p)+(2n-p)=(p+30)+(2n-p-30)=(p+210)+(2n-p-210)=(p+2310)+(2n-p-2310) 均有解。

注：p, 2n-p, p+30, 2n-p-30, p+210, 2n-p-210, p+2310, 2n-p-2310 均为素数。


4生素数 p, p+30, p+210, p+2310 有 无穷多组，

8生素数 p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870 有 无穷多组，


同一个n值，

使 n(n+1)(n+2) -1 与 n(n+1)(n+2)+1 均为孪生素数，

及 (n+1)(n+2)(n+3) -1 与 (n+1)(n+2)(n+3)+1 均为孪生素数，

组成的 4生素数 的 前10个解，ysr 找到了，，，，

/2729/2731/3359/3361  n=13
/100544159/100544161/101194229/101194231  n=464
/10007871719/10007871721/10021810259/10021810261  n=2154
/237751858679/237751858681/237867011339/237867011341  n=6194
/1248895575839/1248895575841/1249243522229/1249243522231  n=10768
/26198072970299/26198072970301/26200719329399/26200719329401  n=29699
/48563204991419/48563204991421/48567198347639/48567198347641  n=36483
/95632080471269/95632080471271/95638354307159/95638354307161  n=45729
/149205894845279/149205894845281/149214334410959/149214334410961  n=53038
/155547270098219/155547270098221/155555947124759/155555947124761  n=53779
/292821083313719/292821083313721/292834312385009/292834312385011  n=66404

猜想：它们均为两对 (30k+29 , 30k+31) 组成的 4生素数，，，，


同邻距的三生素数
且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

最小解：p=7，  ( p, p+30, p+100 ) 与 ( 3p+130, 3p+160, 3p+230 )

最小解：p=11，( p, p+20, p+120 ) 与 ( 3p+140, 3p+160, 3p+260 )

最小解：p=13，( p, p+10, p+30 ) 与 ( 3p+40, 3p+50, 3p+70 )

最小解：p=17，( p, p+150, p+560 ) 与 ( 3p+710, 3p+860, 3p+1270 )

最小解：p=19，( p, p+40, p+180 ) 与 ( 3p+220, 3p+260, 3p+400 )

最小解：p=23，(  p, p+20, p+90 ) 与 ( 3p+110, 3p+130, 3p+200 )

最小解：p=23，(  p, p+30, p+260 ) 与 ( 3p+290, 3p+320, 3p+550 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+80 ) 与 ( 3p+110, 3p+140, 3p+190 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+110 ) 与 ( 3p+140, 3p+170, 3p+250 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+740 ) 与 ( 3p+770, 3p+800, 3p+1510 )

最小解：p=31，( p, p+30, p+160 ) 与 ( 3p+190, 3p+220, 3p+350 )

最小解：p=31，( p, p+30, p+490 ) 与 ( 3p+520, 3p+550, 3p+1010 )

最小解：p=37，( p, p+30, p+520 ) 与 ( 3p+550, 3p+580, 3p+1070 )

最小解：p=37，( p, p+30, p+1150 ) 与 ( 3p+1180, 3p+1210, 3p+2330 )

最小解：p=41，( p, p+20, p+150 ) 与 ( 3p+170, 3p+190, 3p+320 )

最小解：p=43，( p, p+30, p+250 ) 与 ( 3p+280, 3p+310, 3p+530 )

最小解：p=47，( p, p+80, p+270 ) 与 ( 3p+350, 3p+430, 3p+620 )

最小解：p=53，( p, p+30, p+620 ) 与 ( 3p+650, 3p+680, 3p+1270 )

最小解：p=59，( p, p+30, p+350 ) 与 ( 3p+380, 3p+410, 3p+730 )

最小解：p=61，( p, p+40, p+600 ) 与 ( 3p+640, 3p+680, 3p+1240 )

最小解：p=67，( p, p+30, p+400 ) 与 ( 3p+430, 3p+460, 3p+830 )

最小解：p=71，( p, p+30, p+920 ) 与 ( 3p+950, 3p+980, 3p+1870 )

最小解：p=73，( p, p+30, p+1420 ) 与 ( 3p+1450, 3p+1480, 3p+2870 )

最小解：p=79，( p, p+30, p+280 ) 与 ( 3p+310, 3p+340, 3p+590 )

最小解：p=83，( p, p+30, p+290 ) 与 ( 3p+320, 3p+350, 3p+610 )

最小解：p=89，( p, p+60, p+2450 ) 与 ( 3p+2510, 3p+2570, 3p+4960 )

最小解：p=97，( p, p+60, p+880 ) 与 ( 3p+940, 3p+1000, 3p+1820 )

这种 同邻距的三生素数 有 无限多组 ！！！


同邻距的三生素数

设 a < b , 且 10a , 10b 不能同时 被 30 整除，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

( p, p+10a, p+10b ) 与 ( 3p+10a+10b, 3p+20a+10b, 3p+10a+20b ) 有 无限多组 ！！！


稀有的三连同邻距的三生素数

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

(222337, 222367, 222437) 与 (667141, 667171, 667241) 及 (2001553, 2001583, 2001653)

(5021, 5171, 5581) 与 (15773, 15923, 16333) 及 (48029, 48029, 48179, 48589)

猜想：罕见的四连同邻距的三生素数 存在 ！！！！


若 m 为正整数，p1 , p2  均为素数，

则 42m=素数(14m+p1)+素数(14m+p2) 均有解。


蔡氏偶数分拆

大于6的两个相差6 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，

大于6的两个相差12 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，

大于6的两个相差18 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，

大于6的两个相差24 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，

大于8的两个相差30 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，

.........................................................................................................

大于14的两个相差210 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，


蔡氏偶数分拆

大于10的三个相差30 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2，
则 2m+30=素数p1+素数(30+p2) 与 2m+60=素数p1+素数(60+p2) 均有解。


蔡氏偶数分拆

大于10的三个相差60 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2，
则 2m+60=素数p1+素数(60+p2) 与 2m+120=素数p1+素数(120+p2) 均有解。


蔡氏偶数分拆

大于10的三个相差150 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2，
则 2m+150=素数p1+素数(150+p2) 与 2m+300=素数p1+素数(300+p2) 均有解。


蔡氏奇数分拆

设 2n+15 >=33,

则 2n+15=p1+2*p2 , 2n+45=p3+2*p2 , 2n+75=p4+2*p2 均有素数解。

注：p2 可以等于2，2也是素数。

蔡氏奇数分拆

设 2n+15 >=33,

则 2n+15=p1+2*p2 , 2n+75=p3+2*p2 , 2n+135=p4+2*p2 均有素数解。


非等差的三个蔡氏偶数分拆存在

设 10 <= 2m=素数p1+素数p2，

设 30C =300，600，2700，3600，3900，6000，7200，9000，

则 2m+30 =素数p1+素数(30+p2) 与 2m+30C =素数p1+素数(30C+p2) 均有解。


非等差的三个蔡氏偶数分拆存在

设 10 <= 2m=素数p1+素数p2，

设 60C =3300，3900，4500，6000，7200，9000，

则 2m+60 =素数p1+素数(60+p2) 与 2m+60C =素数p1+素数(60C+p2) 均有解。


设 n 为固定正整数，k 为正整数，t 为固定正奇数，

且 2n > t，及 ( n, t ) = 1 .

求证：数列2n*k+t 中的差2n素数对有无限多对，

则有无限多个k，使得 2n*k+t 与 2n*(k+1)+t 均为素数。


求证A：数列10*k+1中的差10素数对有无限多对，

则有无限多个k，使得 10*k+1 与 10*(k+1)+1 均为素数。

求证B：数列10*k+3中的差10素数对有无限多对，

则有无限多个k，使得 10*k+3 与 10*(k+1)+3 均为素数。

求证C：数列10*k+7中的差10素数对有无限多对，

则有无限多个k，使得 10*k+7 与 10*(k+1)+7 均为素数。

求证D：数列10*k+9中的差10素数对有无限多对，

则有无限多个k，使得 10*k+9 与 10*(k+1)+9 均为素数。


求证A：数列30*k+1中的差30素数对有无限多对，

则有无限多个k，使得 30*k+1 与 30*(k+1)+1 均为素数。

求证B：数列30*k+7中的差30素数对有无限多对，

则有无限多个k，使得 30*k+7 与 30*(k+1)+7 均为素数。

求证C：数列30*k+11中的差30素数对有无限多对，

则有无限多个k，使得 30*k+11 与 30*(k+1)+11 均为素数。

求证D：数列30*k+13中的差30素数对有无限多对，

则有无限多个k，使得 30*k+13 与 30*(k+1)+13 均为素数。

求证E：数列30*k+17中的差30素数对有无限多对，

则有无限多个k，使得 30*k+17 与 30*(k+1)+17 均为素数。

求证F：数列30*k+19中的差30素数对有无限多对，

则有无限多个k，使得 30*k+19 与 30*(k+1)+19 均为素数。

求证G：数列30*k+23中的差30素数对有无限多对，

则有无限多个k，使得 30*k+23 与 30*(k+1)+23 均为素数。

求证H：数列30*k+29中的差30素数对有无限多对，

则有无限多个k，使得 30*k+29 与 30*(k+1)+29 均为素数。


推论：有无限多对四生素数 p, (p+2), (p+6), (p+8) ，

使得：p+30, (p+2)+30, (p+6)+30, (p+8)+30  也是 四生素数。

使得：p+210, (p+2)+210, (p+6)+210, (p+8)+210  也是 四生素数。

使得：p+2310, (p+2)+2310, (p+6)+2310, (p+8)+2310  也是 四生素数。

使得：p+30030, (p+2)+30030, (p+6)+30030, (p+8)+30030  也是 四生素数。


【再生差2n素数对 有 无限多组】

设 n, k 均为 固定正整数，且 n 与 k 互素，

设 p1 < p2，且 p1, p2 是 差2n素数对，

使 (p1+n)*k -n =p3 与 (p1+n)*k+n =p4 也是 差2n素数对。
  

【再生差2n素数对 有 无限多组】

设 n, k 均为 固定正整数，且 n 与 k 互素，
  
设 p1 < p2，且 p1, p2 是 差2n素数对，

使 (p1+n)*k -n =p3 与 (p1+n)*k+n =p4 也是 差2n素数对。

及 (p1+n)*k^2 -n =p5 与 (p1+n)*k^2+n =p6 也是 差2n素数对。



【再生等差30的四生素数对 有 无限多组】

设 k 为 固定正整数，且 15 与 k 互素，

设 (p, p+30, p+60, p+90) 是 等差30的四生素数对，

使 (p+45)*k -45, (p+45)*k -15, (p+45)*k+15, (p+45)*k+45 也是 等差30的四生素数对。

例 k=4 时的两对 再生等差30的四生素数对 有 无限多组，

(397429, 397459, 397489, 397519) 与 (1589851, 1589881, 1589911, 1589941)

(2219123, 2219153, 2219183, 2219213) 与 (8876627, 8876657, 8876687, 8876717)

(3686561, 3686591, 3686621, 3686651) 与 (14746379, 14746409, 14746439, 14746469)

(4076951, 4076981, 4077011, 4077041) 与 (16307939, 16307969, 16307999, 16308029)

(4661717, 4661747, 4661777, 4661807) 与 (18647003, 18647033, 18647063, 18647093)

(4968149, 4968179, 4968209, 4968239) 与 (19872731, 19872761, 19872791, 19872821)

(5842841, 5842871, 5842901, 5842931) 与 (23371499, 23371529, 23371559, 23371589)

(7043173, 7043203, 7043233, 7043263) 与 (28172827, 28172857, 28172887, 28172917)

(8682209, 8682239, 8682269, 8682299) 与 (34728971, 34729001, 34729031, 34729061)



【再生等差2310的六生素数对 有 无限多组】

设 k 为 固定正整数，且 1155 与 k 互素，

设 (p, p+2310, p+4620, p+6930, p+9240, p+11550) 是 等差2310的六生素数对，

使 (p+5775)*k -5775, (p+5775)*k -3465, (p+5775)*k -1155, (p+5775)*k+1155, (p+5775)*k+3465, (p+5775)*k+5775 也是 等差2310的六生素数对。

例 k=13 时的两对 再生等差2310的六生素数对 有 无限多组，

有 (267857, 270167, 272477, 274787, 277097, 279407)

与 (3551441, 3553751, 3556061, 3558371, 3560681, 3562991)

有 (2517227, 2519537, 2521847, 2524157, 2526467, 2528777)

与 (32793251, 32795561, 32797871, 32800181, 32802491, 32804801)


奇数( 差 )定理

设 2n+1 >=1，则 2n+1=p1 -2*p2 有无穷多对解。其中 p1, p2 都是质数。

奇数( 和 )定理

设 2n+1 >=9，则 2n+1=p1+2*p2 至少有一对解。其中 p1, p2 都是质数。


奇偶( 差 )猜想A

设 2n+3 >=1，且 p1, p2, p3=2*p2 -1 都是素数，

则 2n+3=p1 -2*p2 与 2n+4=p1 -p3 有无限多对素数解。

奇偶( 差 )猜想B

设 2n+3 >=1，且 p1, p2, p3=2*p2+1 都是素数，

则 2n+3=p1 -2*p2 与 2n+2=p1 -p3 有无限多对素数解。


三素数猜想（加3型）

设 2n+1 >=61，且 p1, p2, p3=2*p2+3 都是素数，

则 2n+1=p1+2*p2 与 2n+4=p1+p3 至少有一组素数(p1, p2, p3)解。

三素数猜想（减3型）

设 2n+3 >=9，且 p1, p2, p3=2*p2 -3 都是素数，

则 2n+3=p1+2*p2 与 2n=p1+p3 至少有一组素数(p1, p2, p3)解。

蔡氏三素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。


蔡氏四素数猜想

设 2n+15 >=49，且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+15=p1+2*p2 及 2n+30=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏四素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。


蔡氏四素数猜想

设 2n+105 >=169，且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+105=p1+2*p2 及 2n+210=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏四素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。


蔡氏八素数猜想

设 2n >=64，

且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15, p5, p6, p7=2*p6 -15, p8=2*p6+15 都是素数，

则 2n -30=p1+p3, 2n -15=p1+2*p2, 2n=p1+p4=p5+p7, 2n+15=p5+2*p6, 2n+30=p5+p8,

至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8)解。

蔡氏八素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。


蔡氏八素数猜想

设 2n >=280，

且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105, p5, p6, p7=2*p6 -105, p8=2*p6+105 都是素数，

则 2n -210=p1+p3, 2n -105=p1+2*p2, 2n=p1+p4=p5+p7, 2n+105=p5+2*p6, 2n+210=p5+p8,

至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8)解。

蔡氏八素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。


蔡氏偶数(1+2)分拆（全部解）

设 2n >=32，且 p1, p2=p1+30, p3=p1+60, p4, p5 都是素数，

则 2n=p1+p4*p5 , 2n+30=p2+p4*p5 , 2n+60=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。


蔡氏偶数(1+2)分拆（全部解）

设 2n >=62，且 p1, p2=p1+210, p3=p1+420, p4, p5 都是素数，

则 2n=p1+p4*p5 , 2n+210=p2+p4*p5 , 2n+420=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。

蔡氏偶数(1+2)分拆（最小解）

设 2n >=96，且 p1, p2=p1+210, p3=p1+420, p4, p5 都是素数，

且 p4 <=p5,  且 p4 是与2n, 2n+210, 2n+420 都互素的最小素数，

则 2n=p1+p4*p5 , 2n+210=p2+p4*p5 , 2n+420=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。


蔡氏偶数(1+2)分拆（全部解）

设 2n >=62，且 p1, p2=p1+210, p3=p1+630, p4, p5 都是素数，

则 2n=p1+p4*p5 , 2n+210=p2+p4*p5 , 2n+630=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。

蔡氏偶数(1+2)分拆（最小解）

设 2n >=62，且 p1, p2=p1+210, p3=p1+630, p4, p5 都是素数，

且 p4 <=p5,  且 p4 是与2n, 2n+210, 2n+630 都互素的最小素数，

则 2n=p1+p4*p5 , 2n+210=p2+p4*p5 , 2n+630=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。


蔡氏偶数(1+2)分拆（全部解）

设 2n >=62，且 p1, p2=p1+420, p3=p1+840, p4, p5 都是素数，

则 2n=p1+p4*p5 , 2n+420=p2+p4*p5 , 2n+840=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。

蔡氏偶数(1+2)分拆（最小解）

设 2n >=62，且 p1, p2=p1+420, p3=p1+840, p4, p5 都是素数，

且 p4 <=p5,  且 p4 是与2n, 2n+420, 2n+840 都互素的最小素数，

则 2n=p1+p4*p5 , 2n+420=p2+p4*p5 , 2n+840=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。


蔡氏偶数(1+2)分拆（全部解）

设 2n >=62，且 p1, p2=p1+30, p3=p1+600, p4, p5 都是素数，

则 2n=p1+p4*p5 , 2n+30=p2+p4*p5 , 2n+600=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。


4m+0>=64=素数 p+素数(c^2+d^2) 均有解。

4m+1>=65=素数 p+2*素数(c^2+d^2) 均有解。

4m+2>=66=素数(a^2+b^2)+素数(c^2+d^2) 均有解。

4m+3>=67=素数(a^2+b^2)+2*素数(c^2+d^2) 均有解。


不是所有满足  d^4=x^4+y^4+z^4 有正整数解

的d, 也能满足 d^3=a^3+b^3+c^3 有正整数解。


但有部分满足  d^4=x^4+y^4+z^4 有正整数解

的d, 同时满足 d^3=a^3+b^3+c^3 有正整数解。


猜想：d^3=2*a^3+b^3 无正整数解。

猜想：d^4=2*a^4+b^4 无正整数解。

猜想：d^5=2*a^5+b^5+c^5 无正整数解。


任一正整数均可表为 一个质数 与 一个平方数 的差。

64=73-3^2=89-5^2=113-7^2=233-13^2=353-17^2=......


任一质数均可表为 另一个质数 与 一个m次方数 的差。

2=11-3^2=29-3^3=83-3^4=59051-9^5=3518743763-39^6=4782971-9^7=6563-3^8

2=2357947693-11^9=59051-3^10=8649755859377-15^11=282429536483-9^12

2=2541865828331-9^13=4782971-3^14=14348909-3^15=6568408355712890627-15^16

2=762939453127-5^17=150094635296999123-9^18

2=15398217140735709790332844752065729-63^19（最小解）


定理：三角数 n^2*(2*n^2 -1) 均可表为 前n个 连续奇数立方数之和。

定理：若 2*n^2 -1 =2^p -1 是梅森质数时，则 n^2*(2*n^2 -1) 是完全数。

根据佩尔数列：1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, ......

定理：若 n=1，5，29，169，985，...... 则 n^2*(2*n^2 -1) 既是三角数，又是平方数。

求证：若 n>=2, 则 [ n^2*(2*n^2 -1) ]^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。

举例：PowersRepresentations[8128^3, 3, 3]

s = 0;
For[n = 2, n <= 8, n++, s = s + 1;
  Print[s, "-----", n^2*(2*n^2 -1), "-----",
   PowersRepresentations[(n^2*(2*n^2 -1))^3, 3, 3]]]]


特殊三角数的立方表为三个立方数之和

求证：若 n>=2，则 (2^n*(2^(n+1) -1))^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。

举例：PowersRepresentations[8128^3, 3, 3]

s = 0;
For[n = 2, n <= 8, n++, s = s + 1;
  Print[s, "-----", 2^n*(2^(n+1) -1) , "-----",
   PowersRepresentations[(2^n*(2^(n+1) -1))^3, 3, 3]]]]


锥形数：C(n) =n^2*(n+1)/2 ,

求证：若 n>=2，则 [n^2*(n+1)/2]^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。


四维拟形数：C(n) =n*(n+1)^2*(n+2)/12 ,

求证：若 n>=2，则 [n*(n+1)^2*(n+2)/12]^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。

设 U=n,  V=n*(n+1)/2,  W=U^2 - 2*U*V/3+2*V^2/3,

则 W(n+2)=C(n)+C(n+2) =n*(n+1)^2*(n+2)/12+(n+2)*(n+3)^2*(n+4)/12 .


【公式化的完美立方数】

设 D^3=A^3+B^3+C^3，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

求证：若 m>=2，则 (m^2*(2m^2 -1)(2m^2+1))^3=A^3+B^3+C^3 是 完美立方数。


【质数立方是三质数立方之和 的完美立方数】

设 P^3=A^3+B^3+C^3，其中 P, A, B, C 都是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

8000以内 P, A, B, C 均为素数的组合，由 Treenewbee 程序计算，

709 = [193, [25, 68, 190]] + [461, [5, 86, 460]] + [631, [120, 207, 622]]

2767 = [103, [12, 31, 102]] + [2179, [108, 235, 2178]] + [2213, [1238, 1373, 1852]]


【质数立方是至少两组三质数立方之和 的完美立方数】

设 P^3=A^3+B^3+C^3 = D^3+E^3+F^3，其中 P, A, B, C, D, E, F 都是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

及 D^3=d1^3+d2^3+d3^3，E^3=e1^3+e2^3+e3^3，F^3= f1^3+f2^3+ f3^3 均为正整数解，

求 质数 P= ？  A= ?    B= ?    C= ?    D= ?    E= ?    F= ?  由 Treenewbee 程序计算，

33199^3=2833^3+19081^3+30941^3=15187^3+24197^3+26647^3

49069^3=661^3+37441^3+40343^3=22307^3+37243^3+38119^3

蔡家雄

定义：孪生素数(p, p+2)的中项(p+1)，叫：孪中数。

孪中比猜想：正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。


推广：三整数连比 均可表为 三个孪中数连比。

即：a : b : c = A : B : C

—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，都是孪生素数。


推广：四整数连比 均可表为 四个孪中数连比。

即：a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，D加减1，都是孪生素数。

蔡家雄

我2020年的两个数学小发现

一、本原勾股方程

二、蔡氏偶数分拆

1万以内的孪中数( p+15 )有 536 个，

2万以内的孪中数( p+15 )有 919 个，

3万以内的孪中数( p+15 )有 1259 个，

4万以内的孪中数( p+15 )有 1588 个，

5万以内的孪中数( p+15 )有 1889 个，

6万以内的孪中数( p+15 )有 2195 个，

7万以内的孪中数( p+15 )有 2486 个，

8万以内的孪中数( p+15 )有 2781 个，

9万以内的孪中数( p+15 )有 3055 个，

10万以内的孪中数(p+15)有 3329 个，

蔡家雄

存在无穷个 x^2,  满足

从2开始，前 x^2 个连续素数的和，仍是素数！

从素数p 开始，有 x^2 个连续素数的和，仍是素数！


素数方阵猜想

设 n>=2,  求 n^2 个连续素数的和 = 完全平方数，均有解。

蔡家雄

三生素数连比 表为 三个孪中数连比。

即：a : b : c = A : B : C

—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，都是孪生素数。

83 : 89 : 97 = 121170870 : 129930210 : 141609330

83 : 89 : 97 = 420132720 : 450503760 : 490998480

83 : 89 : 97 = 479830470 : 514517010 : 560765730


三圆周率素数连比 表为 三个孪中数连比。

即：a : b : c = A : B : C

—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，都是孪生素数。

3 : 31 : 314159 = 770310 : 7959870 : 80666606430

3 : 31 : 314159 = 778050 : 8039850 : 81477136650

3 : 31 : 314159 = 2542050 : 26267850 : 266202628650

3 : 31 : 314159 = 9721080 : 100451160 : 1017988257240

3 : 31 : 314159 = 11252430 : 116275110 : 1178350718790

3 : 31 : 314159 = 12628350 : 130492950 : 1322436602550

3 : 31 : 314159 = 12713580 : 131373660 : 1331361859740

3 : 31 : 314159 = 16537950 : 170892150 : 1731848611350


四生素数连比 表为 四个孪中数连比。

即：a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，D加减1，都是孪生素数。

11 : 13 : 17 : 19 = 108498390 : 128225370 : 167679330 : 187406310

11 : 13 : 17 : 19 = 331059960 : 391252680 : 511638120 : 571830840

11 : 13 : 17 : 19 = 382896360 : 452513880 : 591748920 : 661366440


四生素数连比 表为 四个孪中数连比。

即：a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，D加减1，都是孪生素数。

101 : 103 : 107 : 109 = 246408690 : 251288070 : 261046830 : 265926210

101 : 103 : 107 : 109 = 4268397360 : 4352920080 : 4521965520 : 4606488240


四生素数连比 表为 四个孪中数连比。

即：a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，D加减1，都是孪生素数。

191 : 193 : 197 : 199 = 1132305300 : 1144161900 : 1167875100 : 1179731700


四生素数连比 表为 四个孪中数连比。

即：a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，D加减1，都是孪生素数。

821 : 823 : 827 : 829 = 174981839970 : 175408105110 : 176260635390 : 176686900530


三个孪中数连比 表为 三个孪中数连比。

a : b : c = A : B : C

等式两边的a±1 , b±1 , c±1 , A±1 , B±1 , C±1 ,  都是孪生素数。


四生等差素数连比 表为 四个等差孪中数连比。

例：7 : 37 : 67 : 97 = A : B : C : D

—— 等式右边的A±1 , B±1 , C±1 , D±1 , 都是孪生素数。

蔡家雄

s = 0;
For[ k=1; n = 30 , n <= 5*10^4, n++,
For[p = 7, p <= 5*10^4, p++,
If[(PrimeQ[p])&&(PrimeQ[p+30k])&&(PrimeQ[2n-p])&&(PrimeQ[2n-p-30k])]  , s = s + 1;
Print[s,"------2n = ", 2n,  "  p = ", p]]]]

如果蔡氏偶数猜想正确，将成为哥猜历史的新篇章！！

s=0;
For[ M=65536 ; p=13, p<=M-2310-30, p++,
If[(PrimeQ[p])&&(PrimeQ[p+30])&&(PrimeQ[p+210])&&(PrimeQ[p+2310])
&&(PrimeQ[M-p])&&(PrimeQ[M-p-30])&&(PrimeQ[M-p-210])&&(PrimeQ[M-p-2310]) ,s=s+1;
Print[s,"------2n = ", M,  "  p = ", p]]]


s=0;
For[ p=23, p<=10^6, p++,
If[(PrimeQ[p])&&(PrimeQ[p+30])&&(PrimeQ[p+210])&&(PrimeQ[p+2310])&&(PrimeQ[p+30030])
&&(PrimeQ[p+510510])&&(PrimeQ[p+9699690])&&(PrimeQ[p+223092870]) ,s=s+1;
Print[s,  " ------ p = ", p]]]

蔡家雄

蔡氏勾股弦方程

若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2n ,

若 2n 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 2n=2^k ,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。


若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2020 ,

由 2020 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )

2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )

3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )

4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )

蔡家雄

根据我的孪中比猜想，有

3重接踵孪生素数：等号右边各数，分别加减1，均为孪生素数，

1--- 1 : 2 : 4 = 211050 : 422100 : 844200

2--- 1 : 2 : 4 = 248640 : 497280 : 994560

3--- 1 : 2 : 4 = 253680 : 507360 : 1014720

4--- 1 : 2 : 4 = 410340 : 820680 : 1641360

5--- 1 : 2 : 4 = 507360 : 1014720 : 2029440

6--- 1 : 2 : 4 = 605640 : 1211280 : 2422560

7--- 1 : 2 : 4 = 1121190 : 2242380 : 4484760

8--- 1 : 2 : 4 = 1138830 : 2277660 : 4555320

9--- 1 : 2 : 4 = 1262100 : 2524200 : 5048400

10--- 1 : 2 : 4 = 2162580 : 4325160 : 8650320

11--- 1 : 2 : 4 = 2172870 : 4345740 : 8691480

12--- 1 : 2 : 4 = 2277660 : 4555320 : 9110640

13--- 1 : 2 : 4 = 4070220 : 8140440 : 16280880

14--- 1 : 2 : 4 = 6305460 : 12610920 : 25221840

15--- 1 : 2 : 4 = 7671510 : 15343020 : 30686040


4重接踵孪生素数：等号右边各数，分别加减1，均为孪生素数，

1--- 1 : 2 : 4 : 8 = 253680 : 507360 : 1014720 : 2029440

2--- 1 : 2 : 4 : 8 = 1138830 : 2277660 : 4555320 : 9110640

3--- 1 : 2 : 4 : 8 = 58680930 : 117361860 : 234723720 : 469447440

4--- 1 : 2 : 4 : 8 = 90895770 : 181791540 : 363583080 : 727166160

推广：n > 2 ,

1 : n : n^2 : n^3 = A : B : C : D 有无限多组。( 等号右边各数，分别加减1，均为孪生素数 )


8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 3p+8, 3p+10, 3p+14, 3p+16 有 无限多组 ！！！

1/3 = 27742155/83226465 ,( p=27742151 )


8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 7p+24, 7p+26, 7p+30, 7p+32 有 无限多组 ！！！

1/7 = 15/105 ,( p=11 )
1/7 = 1830345/12812415 ,( p=1830341 )
1/7 = 28332675/198328725 ,( p=28332671 )
1/7 = 33253275/232772925 ,( p=33253271 )
1/7 = 91426335/639984345 ,( p=91426331 )

蔡家雄8生素数猜想

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 3p+8, 3p+10, 3p+14, 3p+16 有 无限多组 ！！！

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 5p+16, 5p+18, 5p+22, 5p+24 有 无限多组 ！！！

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 7p+24, 7p+26, 7p+30, 7p+32 有 无限多组 ！！！

蔡家雄8生素数猜想

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, (2n+1)p+8n, (2n+1)p+8n+2, (2n+1)p+8n+6, (2n+1)p+8n+8 有 无限多组 !

任在深

蔡家雄 发表于 2020-8-4 10:11
一个素数个数的上限公式

设 N>529，

没有理论根据的“公式”就不要胡说了！

大傻8888888

       我对这个问题提一个看法。一楼这个证明首先不管是否正确，都需要证明孪生素数有无限个，但是只要证明了孪生素数有无限个也就是证明了偶数哥猜。没有必要转这么一个大圈。