李明波发现了实数的深渊？

波浪

[这个贴子最后由波浪在 2008/12/14 02:26pm 第 4 次编辑]


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波浪

[这个贴子最后由波浪在 2008/12/14 02:41pm 第 1 次编辑]

    该问题已经被李明波大虾注意到大约20年了，之所以才提出来，是因为没有深入地研究，还得清各位高手赐教。 :em11:  :em12:  :em13:  :em14:  :em15:  :em16:

波浪

解方程X=CosX——Excel 综合应用
解方程X=CosX
——Excel 图表与公式综合应用
广州市第十三中学  梁基
    本文从Excel 的公式、函数和图表的教学，结合数学解方程进行。
    有的时候，数学的解题方法与电脑解题方法有着极大的差别，这一点不仅老师应当注意，而且也应当让学生有所了解。
    例如，解一元二次方程，电脑常用公式法，而过去的数学则不会把公式法作为首选，数学喜欢一些特殊的解法，这大概是计算的难度和思维培养的原因吧。
    本例X=CosX，中学数学没有什么好办法去解，正好体现计算机作为计算工具的优势。

教学目标：1、用公式进行函数值的计算；
          2、用折线图表示函数曲线；
          3、理解计算机求方程近似解的方法；
          4、理解逐步迫近法求解的方法步骤；
          5、拓展目标：应用Excel的单变量求解来解任意一元方程。
情感目标：逐步求精的思想方法；计算机解方程的高速高效。
学生分析：学生已经掌握公式和序列填充，在数学课中学习了三角函数图像。
一、        复习：公式与函数
学生操作。
计算函数Y=CosX在区间（-π，+π）的值。
注意：取值范围（-3.1~+3.1），间隔（步长）值可取0.1，三角函数为弧度制。
二、        画出三角函数CosX曲线
利用图表工具用折线图表示下图中C列的数值。
具体操作由于老师示范，然后让学生操作。
问题：如果选择B、C两列数据进行，会得到怎样的图象？
学生操作。
图一  直线和余弦曲线，注意交点
图中两条曲线分别代表函数：Y=X和Y=CosX的图像。
三、        解方程X=CosX    （精确到2位小数）
方程如何解？你有什么办法？数学老师如何解你解这道题？
……
什么是方程的解，我们从定义出发，能令方程两边相等的自变量X的值就是方程的解。从图上看，两条线有相等的时候吗？对了，两条线的交点。
你能判断这个方程有多少个解？一个，为什么？从上图可以看出来两个函数图象只有一个交点，这个交点表示Y=X和Y=CosX两个函数值相等，也就是说X=CosX了，这个交点的X值就是方程的解，其座标落在0到0.5π之间，所以方程的解也就落在这个区间。
那么这个解是多少，你知道吗？对了，查一查上图数据表就知道了。看一看B、C两列数据，那一行两个数值就接近，则对应的B列的值，就是方程的近似解，这个值是0.7。
为了观察更方便，可以在D列输入公式，求出B、C两列的差，找出最接近0的数值。
四、        逐步求精
答案：0.7，离题目要求还有距离，题目要求精确到2位小数。请同学们再算一下。
答案：0.73。对了，你们是怎样算的？呵，将间隔改为0.01就可以了。好，现在我把题目改一下，要求精确到6位小数如何？同学哗然。
发现许多同学取值范围仍然是-3.1~+3.1。
请同学们想一想，你的取值范围不可以缩小一些吗？对了，把范围缩小到0.72~0.74就足够了，少做一些不必要的计算，别把计算机累坏了呵，开个玩笑。
把范围不断缩小，把精度不断提高，我们可以得到任意精度的答案了。
……
好，下面比赛一下，看谁算得最快最准。
“E-08”是什么意思，这是用科学记数法表达的数值，E-08表示“10的负8次幂”
时间到，全体停止（用多媒体网锁定学生机），请同学们说出你得到的结果：0。739085
能更精确一点吗？注意单元格格式中小数位的设定。
结果：0.7390851332
0．739085133215
   ……
五、        拓展——单变量求解
在“工具”菜单中，有一个菜单项“单变量求解”，点击菜单弹出对话框如下图所示。
对话框要求输入二个单元格（目标单元格和可变单元格）地址和一个目标值。可以这样去理解：
可变单元格——即自变量X；
目标单元格——即函数F(x)，这是一个引用可变单元格数值的一个公式；
目标值——指函数F(x)的预期目标数值。
针对上例，假定设A1为可变单元格，B1为目标单元格，在B1单元格输入公式“＝A1-COS(A1)”，打开“单变量求解”对话框，输入两个单元格地址，在“目标值”输入框中输入数值零。点击“确定”按钮，答案0.739062就显示在A1单元格。
这里A1单元格所显示的是令B2单元格公式的值等于零，这时的自变量A1的值是0.739062。
也许你已经注意到，这个答案与上面所求的方程的根有很大误差。实际上此时函数的值不为零，而是-3.8×10-5  ，即B1单元格所显示。
如何才能算得更精确？
打开“工具”菜单的“选项”，在对话框中“重新计算”选项卡中有几个参数对计算有影响，它们是“最大误差”和“最多迭代次数”。将“最大误差”设为零，重新再求解，这就得出最佳答案：
                       0.739085133215161
如果要解其他一元方程，不管中一元二次还是一元N次，不论是对数方程还是指数方程，只需要改变B1单元格的公式就可以了。
探究：当判别式大于零，一元二次方程有两个个不相等的实数根，上面的方法能行吗？如何解决？
探究：单变量求解还有哪些功能，查阅参考书或进行网上搜索，深入学习单变量求解的广泛应用。
搜索更多相关主题的帖子: 解方程 CosX 应用
http://www.nrcce.com/nrcce_bbs/viewthread.php?tid=3946
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波浪

    该数是有理数的可能性不大，一定该是无理数甚至是超越数。 :em08:  :em09:

波浪

[这个贴子最后由波浪在 2008/12/14 03:16pm 第 1 次编辑]

    1. 该问题与角谷猜想所不同的是：它只使用了一个函数，而且叠代面对的是所有实数，极限又是个不是整数的小数。
    2. 它与把一个数开n次方也不同，当n无限增大时，任何正实数开n次方的极限都是整数1，这也是非常显然的。
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luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/12/14 06:25pm 第 1 次编辑]

0.739085133 这个数是超越方程 x=cosx 的解，除此以外，好像没有什么特别的意义。

波浪

    非常感谢 luyuanhong 先生的回复。  :em08:  :em09:

波浪

[这个贴子最后由波浪在 2008/12/15 05:41pm 第 1 次编辑]


     由 e 派生出来的次生数也是很多的。
     到底为什么所有实数在这种余弦叠代下，都会归一成0.739085133...这个数呢？
     难道我们只是发现了奥秘之门吗？ :em08:  :em09:

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