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完全数问题
完全数目录
【定义】
【性质】
【历史】
【疑难问题】
【完全数公式】
【完全数判断】
【梅森素数和完全数表】
完全数（Perfect number，又称完美数）是一些特殊的自然数。
[编辑本段]【定义】
若一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数。
完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。
例如:第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1＋2＋3＝6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1＋2＋4 + 7 + 14＝28。后面的数是496、8128。
例如，
6=1+2＋3
28=1＋2＋4＋7＋14
496=1+2+4+8＋16+31+62＋124+248
8128=1＋2＋4+8＋16＋32+64＋127+254＋508+1016＋2032+4064
对于“4”这个数，它的真因子有1、2，其和是3。由于4本身比其真因子之和要大，这样的数叫做亏数。对于“12”这个数，它的真因子有1、2、3、4、6，其和是16。由于12本身比其真因子之和要小，这样的数就叫做盈数。那么有没有既不盈余，又不亏欠的数呢？即等于它自己的所有真因子之和的数，这样的数就叫做完全数。
[编辑本段]【性质】
完全数有许多有趣的性质：
⒈它们都能写成连续自然数之和。
如：6 = 1+2+3；
28 = 1+2+3+4+5+6+7；
496 = 1+2+3+……+30+31；
……
⒉它们的全部因数的倒数之和都是2,因此每个完全数都是调和数。
如：1/1+1/2+1/3+1/6=2；
1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2；
3.除了6之外,都有这样的一个性质:
如28,2+8=10,1+0＝1；
496,4+9+6＝19,1+9＝10,1+0＝1；
……
[编辑本段]【历史】
公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”不过，或许印度人和希伯来人早就知道它们的存在了。有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，他们指出，创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣·奥古斯丁说：6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实恰恰相反，因为这个数是一个完数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了，即使没有上帝创造世界这种事，6仍旧不失其为完数。
完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字。接下去的两个完数看来是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：也许是这样：正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以盈数和亏数非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴上，接近一万，是8128。它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数。第五个完全数要大得多，是33550336，它的寻求之路也艰难得多，直到十五世纪才由一位无名氏给出。这一寻找完全数的努力从来没有停止。电子计算机问世后，人们借助这一有力的工具继续探索。笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。”时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在。于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题。目前，只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条件。
[编辑本段]【疑难问题】
⑴到底有多少完全数？寻找完全数并不是容易的事。经过不少数学家研究，到目前为止，一共找到了46个完全数。
⑵有没有奇完全数？奇怪的是，已发现的46个完全数都是偶数，会不会有奇完全数存在呢？如果存在，它必须大于10^300。
至今无人能回答这些问题。
尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12p + 1或36p + 9的形式，其中p是素数。在10^18以下的自然数中奇完全数是不存在的。
[编辑本段]【完全数公式】
大数学家欧几里德曾推算出完全数的获得公式：如果2^p-1质数，那么(2^p-1)2^(p-1)便是一个完全数。p=2，2^p-1=3是质数，(2^p-1)2^(p-1)=3X2=6，p=3，2^p-1=7是质数，(2^p-1)2^(p-1)=7X4=28但是2^p-1什么条件下才是质数呢?
当2^p-1是质数的时候，称其为梅森素数！顾名思义，就是梅森第一个系统地研究这种形式的素数的！事实上，至今，人类只发现了46个梅森素数，也就是只发现了46个完全数。
[编辑本段]【完全数判断】
有了完全数公式，对于一个数是否是完全数，只要代入公式一试即可。
例：求 a = p k 是否为完全数？（ p 奇素数，k ∈N ）
解：按完全数公式
2×p k = （1 +p + p 2 +… + pk）= (pk -1)/(p-1) + pk
∵左边＝2×p k，右边＝(pk -1)/(p-1) + pk＜2×p k
∴ 该题无解， a = pk 不是完全数。
PASCAL程序 判断 A~ B 区域内的完全数为
program wanquanshu;
var i,a,b:longint;
function wanquanshu(i:longint):boolean;
var sum,k:longint;
begin
sum:=1;
for k:= 2 to i div 2 do
if i mod k=0 then sum:=sum+k;
if i=sum then wanquanshu:= true
else wanquanshu:=false;
end;
begin
repeat
readln(a,b);
until (a>0) and (b>0) and (b>a);
for i:= a to b do
if wanquanshu(i) then writeln(i);
end.
【利用VB编程求10000以内完全数】
Dim a, b, c As Integer
For a = 1 To 10000
c = 0
For b = 1 To a / 2
If a Mod b = 0 Then c = c + b
Next b
If a = c Then Print Str(a)
Next a
【利用C语言编程求1000以内完全数】
main()
{
int i,j,sum;
for(i=2;i<100;i++)
{
sum=0;
for(j=1;j<=i/2;j++)
if(i%j==0)
sum=sum+j;
if(sum==i)
printf("%4d",i);
}
}
[编辑本段]【梅森素数和完全数表】
由完全数公式可知，完全数和梅森素数存在对应关系，因此列出梅森素数表，就可以得出完全数表。
梅森素数表
序号 p 位数 发现时间 发现者 (reference)
1 2 1 （无从考究） （无从考究）
2 3 2 （无从考究） （无从考究）
3 5 3 （无从考究） （无从考究）
4 7 4 （无从考究） （无从考究）
5 13 8 1461 Reguis(1536), Cataldi(1603)
6 17 12 1588 Cataldi (1603)
7 19 19 1588 Cataldi (1603)
8 31 10 1750 Euler (1772)
9 61 19 1883 Pervouchine (1883), Seelhoff (1886)
10 89 27 1911 Powers (1911)
11 107 33 1913 Powers (1914)
12 127 39 1876 Lucas (1876)
13 521 157 Jan. 30, 1952 Robinson (1954)
14 607 183 Jan. 30, 1952 Robinson (1954)
15 1279 386 Jun. 25, 1952 Robinson (1954)
16 2203 664 Oct. 7, 1952 Robinson (1954)
17 2281 687 Oct. 9, 1952 Robinson (1954)
18 3217 969 Sep. 8, 1957 Riesel
19 4253 1281 Nov. 3, 1961 Hurwitz
20 4423 1332 Nov. 3, 1961 Hurwitz
21 9689 2917 May 11, 1963 Gillies (1964)
22 9941 2993 May 16, 1963 Gillies (1964)
23 11213 3376 Jun. 2, 1963 Gillies (1964)
24 19937 6002 Mar. 4, 1971 Tuckerman (1971)
25 21701 6533 Oct. 30, 1978 Noll and Nickel (1980)
26 23209 6987 Feb. 9, 1979 Noll (Noll and Nickel 1980)
27 44497 13395 Apr. 8, 1979 Nelson and Slowinski
28 86243 25962 Sep. 25, 1982 Slowinski
29 110503 33265 Jan. 28, 1988 Colquitt and Welsh (1991)
30 132049 39751 Sep. 20, 1983 Slowinski
31 216091 65050 Sep. 6, 1985 Slowinski
32 756839 227832 Feb. 19, 1992 Slowinski and Gage
33 859433 258716 Jan. 10, 1994 Slowinski and Gage
34 1257787 378632 Sep. 3, 1996 Slowinski and Gage
35 1398269 420921 Nov. 12, 1996 Joel Armengaud/GIMPS
36 2976221 895832 Aug. 24, 1997 Gordon Spence/GIMPS
37 3021377 909526 Jan. 27, 1998 Roland Clarkson/GIMPS
38 6972593 2098960 Jun. 1, 1999 Nayan Hajratwala/GIMPS
39 13466917 4053946 Nov. 14, 2001 Michael Cameron/GIMPS
40 20996011 6320430 Nov. 17, 2003 Michael Shafer/GIMPS
41 24036583 7235733 May 15, 2004 Josh Findley/GIMPS
42 25964951 7816230 Feb. 18, 2005 Martin Nowak/GIMPS
43 30402457 9152052 Dec. 15, 2005 Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS
44 32582657 9808358 Sep. 4, 2006 Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS
45 37156667 11185272 Aug. 23, 2008 Edson Smith/GIMPS
46 43112609 12978189 Sep. 6, 2008 Hans-Michael Elvenich/GIMPS
第46个梅森素数是现今人类已知的最大的素数。
前12个完全数
1……6
2……28
3……496
4……8128
5……33550336
6……8589869056
7……137438691328
8……2305843008139952128
9……2658455991569831744654692615953842176
10……191561942608236107294793378084303638130997321548169216
11……13164036458569648337239753460458722910223472318386943117783728128
12……14474011154664524427946373126085988481573677491474835889066354349131199152128之所以只写到第12个，是因为第13个有314位，那么多数字堆在这里不美观！
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发表于 2009-4-24 20:50
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