在非标准分析中，由引入一个无穷单位元 Ω 后生成的超实数域的图像显示

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/24 09:42am 第 3 次编辑]

在几百年以前，当复数的概念刚刚提出来的时候，曾经遭到过许许多多人的怀疑和反对。
他们说：“人人都知道，任何实数的平方，都不会小于 0 。怎么会有一个数，它的平方是 -1 呢？”
是呀，有谁在现实生活中，看到过虚数单位元 i ？ 有什么东西长度会等于 i ？ 有什么东西面积会等于 i ？ 当然是没有的。
虚数单位元 i 完全是人们“凭主观想象”创造出来的一个东西，不是现实的数，所以当时人们给它一个名字，叫做“虚数”。
后来，人们想出一种办法，构造出了“复平面”（其实这个“复平面”只是一种数学工具，也是人为构造出来的想像中的东西）。
有了复平面图图像以后，复数 a+bi 就变成了复平面上的一个点，这样，人们就可以“看到”虚数 i ，“看到”复数 a+bi 了。
后来，经过了几百年，人们才渐渐接受了“虚数”“复数”的概念。今天，人们已经把虚数、复数当作毫无疑问的真实的数了。
---------------------------------------------------------------------------------------------------
现在，非标准分析提出了“无穷单位元 Ω”，提出了“超实数”的概念，肯定也会遭到许许多多人的怀疑和反对。
他们说：“人人都知道，实数是‘要多大就多大’的，实数是‘上不封顶的’，怎么会有一个数大于任何实数呢？”
是呀，这样的数，在现实生活中，谁也没有看到过，什么无穷单位元 Ω ，完全是人们“凭主观想象”创造出来的一个东西。
其实，如果我们希望看到无穷单位元 Ω 、看到无穷大量和无穷小量 ，像看到虚数单位元 i 、看到复数 a+bi 那样，还是有办法的。
在非标准分析中，人们已经构造出一种“无穷大望远镜”和“无穷小显微镜”。有了这种（当然是想像出来的）数学工具，
我们就可以把超实数域用图像表示出来，就可以“看到”无穷单位元 Ω 、“看到”无穷大量、“看到”无穷小量了。

熊一兵

数学及科学的发展大概就是这样,一个新理论刚产生的时候，多数会受到各种怀疑冷遇、严重打击，甚至受到人身攻击伤害。尤其那些与当时的
观念有巨大冲突的、又由非专家权威提出时更是如此。这个现象有其积极和消极因素：1、它能防止错误理论或伪科学被当成真理随便传播；2
、它可能使一个正确的理论得不到及时应用

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/21 10:52pm 第 2 次编辑]

在上面第1楼中，给出了非标准分析中超实数域的图像显示。
这种图像，在几乎每一本介绍“非标准分析”的书中，都可以看到。
但是，这种图像显示，还有一些令人感到美中不足的地方，就是：
在这种图示中，负无穷大量落在数轴左边无穷远处，正无穷大量落在数轴右边无穷远处。
虽然我们可以通过“无穷大望远镜”看到正无穷大量和负无穷大量，却无法实际地触摸到它们。
下面，我研究出了另一种超实数域的图像显示方法，可以把全部超实数域显示在一条半圆弧上。
而且我们发现：负无穷大量都聚集在半圆弧的左端点处，正无穷大量都聚集在半圆弧的右端点处。
用这种方法，我们不仅可以“亲眼看到”无穷大量，还可以“亲手摸到”无穷大量。
这样一来，应该说是再也没有什么不满意了吧！

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/22 10:31pm 第 3 次编辑]

数轴上的任何一个实数，都可以在半圆弧上找到与它对应的投影点。而且，我们可以看出：
随着实数不断增大，它在半圆弧上的投影点，会越来越接近半圆弧的右端点，但是永远不会达到右端点。
那么，半圆弧的右端点，又对应于什么样的数呢？ 一个人，只要有足够的数学想象力，就会很自然地想到：
第一，这样的数不是实数。因为任何实数对应的投影点，都不是右端点，所以，与右端点对应的数，必定超出了实数域。
第二，这样的数大于任何实数。因为在圆弧上，越接近右端点的数越大，所以，与右端点对应的数，显然大于任何实数。
这样，对一个有数学想象力的人来说，就很自然地产生了非标准分析中“正无穷大量”的概念：
（1）“正无穷大量”不是实数，它超出了实数域，是一种“超实数”； （2）“正无穷大量”大于任何实数。
类似地，我们从半圆弧的左端点所对应的数，可以引出非标准分析中“负无穷大量”的概念：
（1）“负无穷大量”不是实数，它超出了实数域，是一种“超实数”； （2）“负无穷大量”小于任何实数。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/22 09:13pm 第 1 次编辑]

下面是另一种图像（注意：图像中的 P 点不对应于任何数，所以作为超实数域图像的圆弧在 P 点是断开的）：

ccmmjj

恕我直言，无穷元 Ω 只是在几何上需要时才引入，是一个静态观念。不是分析中的无穷观点。

波浪

    请教陆教授一个问题：
   

下面引用由波浪在 2009/09/09 06:48am 发表的内容：
√2 的前 Ω 位小数，是有理数还是无理数？

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=1446&start=60&show=0&man=

波浪

    请教陆教授：

下面引用由波浪在 2009/09/09 06:48am 发表的内容：
√2 的前 Ω 位小数，是有理数还是无理数？

luyuanhong

下面引用由波浪在 2009/09/23 00:17pm 发表的内容：
    请教陆教授一个问题：
   √2 的前 Ω 位小数，是有理数还是无理数？

波浪提出的这个问题，确实很有意思，我不知道到底应该怎样回答，欢迎大家一起来讨论：

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/09/23 07:22pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2009/09/23 05:12pm 发表的内容：
波浪提出的这个问题，确实很有意思，我不知道到底应该怎样回答，欢迎大家一起来讨论：

我不认为 0.3333... 对应于一个Ω 位小数。原因很简单：
我们可以定义一个“Ω位小数”为 (10^Ω-1)/(3 10^Ω)， 于是知道它是
1/3 - 1/(3 10^Ω) < 1/3 = 0.3333...
所以 0.3333...的位数比 Ω 多， 而 (10^Ω-1)/(3 10^Ω) 的位数比任何有限小数多。
这样我们就只好承认有介于经典无穷大和有限的诸多超穷位小数。正像 1/Ω 是介于0和任何经典正数之间的超实数，Ω是介于任何自然数和经典无穷大之间的超实数。
这让我们看到含有 Ω 的任何“既约”表达式不可能等于一个经典实数。
波浪的期望是引进Ω来使他的“李明波数阵”穷尽所有实数。这跟对有理数作一个超越数扩张就说可以得到实数系一样没有可能。事实上我们可以建立Q(Ω)与Q(s) 的同构。这里s是任意一个超越数。而 Q 是李明波数阵L 的‘域化扩张’于是 L是Q(s)的真子集，而Q(s)是R的真子集。
141421356237309... 的直到Ω位的‘主部’与 141421356237309...本身的关系是什么？根据自然数公理，知道了141421356237309...的左起任意有限位数码，就完全确定了141421356237309...。但同样的逻辑表明141421356237309... 的Ω位‘主部’也含有一切左起有限位数码，并于141421356237309...的相同，于是就无法界定两者的区别，同样地无法界定141421356237309... 的直到Ω-1的位‘主部’与以上二超穷整数的区别。所以这样的‘超穷整数’是无法定义的。换言之，它们不可能成为有意义的数学对象。
我无意反对“李明波数阵”本身，它是有限十进小数的有趣构成方式。不过它的确在经典和非标准意义下都不能包含所有实数。[br][br][color=&#35;990000]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
我也欢迎非标准分析的使用和讨论。正像我很习惯虚度单位i一样。