函数的连续性为什么要这样定义？

ygq的马甲

【规则】之二：所谓的“连续”，是指遍历……之间的所有可能性

这个【定义】是怎么来的，会涉及到更前面的内容。你说过“不明白”，那么就不【解释】了。

这里又不是很明白了
为何说进入这个矩形阵就是连续了呢？
-=-=-=-=- 以下内容由 gaddis 在 时添加 -=-=-=-=-
另外  ε-δ 那个“矩形框”的具体意义是什么？
是否是指以点(x0,a)为中心，a为极限值。 ε为高， δ为长的矩形？

是指这个矩形，但不包括 (x0,a) 这个点，因为【极限】理论是可以去“心”的
特别注意“对于任意给定的正数ε＞０，”中的“任何给定”，还有“遍历……之间的所有可能性”中的“所有”

gaddis

“遍历……之间的所有可能性”
这个具体到这个例子里，又如何理解呢？

ygq的马甲

下面引用由gaddis在 2009/03/20 01:47pm 发表的内容：
“遍历……之间的所有可能性”
这个具体到这个例子里，又如何理解呢？

以一段“曲线”来说的话，那么就是“曲线”两头之间的“所有”点

gaddis

如果不【连续】的话，那么两者之间必定可以“插”入其它数的，那么必定会有某些 ε 值，……

这里说的“两者”是指什么呢？
我有点米糊，麻烦老师了哦。可否写一下完整的分析

ygq的马甲

下面引用由gaddis在 2009/03/20 01:57pm 发表的内容：
如果不【连续】的话，那么两者之间必定可以“插”入其它数的，那么必定会有某些 ε 值，……
这里说的“两者”是指什么呢？
我有点米糊，麻烦老师了哦。可否写一下完整的分析

按照【“知其然”，更要“知其所以然”】的原则，只解释“为什么”。从互动情况来看，你不熟悉【反证法】。
①以 (x0,a) 这个点，构造 ε-δ 矩形框 ，但不包括 (x0,a) 这个点，因为【极限】理论是可以去“心”的
②对于任意给定的正数 ε＞０，
③遍历……之间的所有可能性

gaddis

下面引用由ygq的马甲在 2009/03/20 02:05pm 发表的内容：
按照【“知其然”，更要“知其所以然”】的原则，只解释“为什么”。从互动情况来看，你不熟悉【反证法】。
①以 (x0,a) 这个点，构造 ε-δ 矩形框 ，但不包括 (x0,a) 这个点，因为【极限】理论是可以去“心”　...

还是不明白。
看不懂其中的逻辑联系

gaddis

我只是想理解究竟函数的连续性在纵轴上怎么去理解
比如实数的连续性是如果某一点挖去，则在这个点左边的数集是没有了上确界
那实数的连续性和函数的连续性之间有什么区别和联系？
如何深入的去理解函数的连续性呢

ygq的马甲

下面引用由gaddis在 2009/03/20 02:13pm 发表的内容：
我只是想理解究竟函数的连续性在纵轴上怎么去理解
比如实数的连续性是如果某一点挖去，则在这个点左边的数集是没有了上确界
那实数的连续性和函数的连续性之间有什么区别和联系？
如何深入的去理解函数的连续性呢

你，似乎更喜欢“类比”方法
（链接）上确界
函数与纵轴相类比：
①函数不能用大小之类的方式，纵轴就可以用大小的方式
相同的“类比”方法：与某个点的“接近”程度
②相同的地方，可以无限地接近，但就是不能【相等】，即没有“上确界”类似的【确定】值，因为【极限】理论是可以去“心”的

gaddis

下面引用由ygq的马甲在 2009/03/20 02:40pm 发表的内容：
你，似乎更喜欢“类比”方法
（链接）上确界
函数与纵轴相类比：
①函数不能用大小之类的方式，纵轴就可以用大小的方式
...

谢谢您
不过感觉这种理解可能还不是特别的满意
以前有人说过“连续”的意思就是没有“断层”
然后放到实数上就是如果某个点被挖去，就是出现了“断层”。这个“断层”的左边是没有上确界，右边是没有下确界。
那我想函数也应该是在某个点如果“连续”，则是没有“断层”。
但就是不理解为何只要按定义，就是没有“断层”的

ygq的马甲

[这个贴子最后由ygq的马甲在 2009/03/20 03:31pm 第 2 次编辑]

下面引用由gaddis在 2009/03/20 02:51pm 发表的内容：
谢谢您
不过感觉这种理解可能还不是特别的满意
以前有人说过“连续”的意思就是没有“断层”
然后放到实数上就是如果某个点被挖去，就是出现了“断层”。这个“断层”的左边是没有上确界，右边是没有下确界。
...

数轴，可以有“断层”的形象说法，是因为其大小次序
但函数是不行的，因为可以多种多样的【方向】。
如果硬要“类比”的话，那么是“分段”、“分块”