函数的连续性为什么要这样定义？

gaddis

比如实数的连续性可以用确界定理去理解，如果某个点被挖去，则这个点左边的数集没有上确界。
那函数的连续性又如何理解呢？
为什么只要当x趋向x0时，f(x)趋向f(x0)就可以证明在这个点上是连续的呢？
或者这么说吧，该如何深入的去理解？
为什么是这样定义？

gaddis

我的理解是这样的，一个函数f(x)在点x0处是否连续
是看横轴上是否连续和纵轴上是否连续
横轴上是否连续好判断的，因为任意一个x0都是对应着一个函数值
所以只要考虑f(x)在x轴上的投影就可以了
这个其实就是考虑在x0这个点是否被挖去，其实就是实数的连续性
而在纵轴上是否连续考虑就比较麻烦了
因为一个函数值比如说是h,它可能对应的x轴上的点有好几个，比如x1,x2,x0等等
所以显然不能用投影到y轴上的办法去理解。
而按函数连续性的定义，其实就是f(x0)要等于f(x)在x0这个点的极限值。这里假定这个极限值是a。
我想请教的是，是否有类似理解实数连续性的方法来理解纵轴上的连续性呢？
我还没理清头绪
请教各位老师了。谢谢哦[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 gaddis 在 时添加 -=-=-=-=-
其实我是想说，在x0这点上f(x)是连续的，应该是此函数对任意斜率的直线都能证明是连续的。
不过在这里我简化为对纵轴是连续的，因为找到了对纵轴的连续的判断，则对任意斜率的直线做数轴都可以被判断。
请教老师哈

gaddis

自己顶一下吧

gaddis

顶一下吧

ygq的马甲

看样子，楼主不讨人喜欢啊，呵呵呵……[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

附图：二维几何模型表示的逻辑类型

【公理二】存在且只存在 R(·,·)="∈"∪" Ï "∪"Φ"
按照“一分为二”方法假设代号 A 和 ﹁A ，那么对照“二维几何模型表示的逻辑类型”附图，存在五种侧面，分别如下：
R(·,·)="Φ" 对应的是 A 和 ﹁A ；
R(·,·)="∈" 对应的是 A←→A 和 ﹁A←→﹁A ；
R(·,·)=" Ï " 对应的是 A←→﹁A 。
以上是【公理】部分，与 A 所选择的具体内容无关。

gaddis

谢谢楼上的老师
不过您说的逻辑我看不懂
这是什么方面的知识呢？
我没有学过哦
是否需要学一下离散数学？

ygq的马甲

【规则】之一：所谓的“连续”，是 R(·,·)=" Ï " 类型的【属性】
【规则】之二：所谓的“连续”，是指遍历……之间的所有可能性（实际上是Ａ和﹁Ａ之间的）
下面的【解释】，将是基于【规则】之二
【题目】

那函数的连续性又如何理解呢？
为什么只要当x趋向x0时，f(x)趋向f(x0)就可以证明在这个点上是连续的呢？
或者这么说吧，该如何深入的去理解？
为什么是这样定义？

【解释】步骤①：这是【极限】理论方面的
【解释】步骤②：对于任意给定的正数 ε＞０，ε-δ相当于一个“矩形框”，前面的“任意给定”保证这个“矩形框”可以任意地“小”
【解释】步骤③：“必要”条件，必须满足这个条件，否则选择合适的 ε 时，【肯定】会跑出那个“矩形框”
【解释】步骤④：“充分”条件，只要满足这个条件，否则选择合适的 ε 时，【肯定】会跑出那个“矩形框”
除上述条件之外，只能保证 x≠x0 时的“迫近”过程，即可以补上断点的【连续】性，所以还要有 f(x)=f(x0) ……

ygq的马甲

下面引用由gaddis在 2009/03/20 09:58am 发表的内容：
谢谢楼上的老师
不过您说的逻辑我看不懂
这是什么方面的知识呢？
我没有学过哦
...

打字，有些慢，补上后是否能【理解】了？？？

gaddis

谢谢老师
不过还是不能理解
没有学过这方面的知识
您说的公理是哪门学科的呢？
能否只是单纯的从《数学分析》方面来解释呢？
谢谢哦

ygq的马甲

【规则】之二：所谓的“连续”，是指遍历……之间的所有可能性

这个“开始点”，作为人为的【规定】。是否能【理解】此后的步骤？？？