[原创]概率数论

熊一兵

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guil□ shulun
概率数论
probabilistic number theory
研究数论函数的分布问题。概率数论开始于1917年G.H.哈代与S.A.拉马努金关于数论函数□(□)的研究。此处□(□)表示□的不同素因子的个数,例如□(1)=0,□(2)=1，□(20)=2,□(30)=3。对于任意的□,当□为□个不同素数之积时,有□(□)=□。特别,当□=□为素数时,有□(□)=1。所以□(□)(□=1,2,…)的分布很不规则，它可以取任意大的整数值,而又无穷多次取值1及2,3等。因此,研究□(□)的值分布就从研究□(□)在区间[1,□]中的期望值入手,其中□是大于或等于2的整数。命□□表示区间[1,□]中为□所整除的整数组成的集合,□□(□□)表示□□的概率。例如当□=100时，
□一般说来
□假定□、□为互异的素数，则□，所以当□充分大时，有
□这说明当□在区间[1,□]中随机选取时，事件□□与□□是渐近独立的，所以□(□)在[1,□]中的期望值为
　□，它渐近地等于□（见素数分布）。
命□(□)为任何当□趋于无穷时亦趋于无穷的函数,则□。
这就说明在 □(□)(1≤□≤□)中，只有极少数是偏离ln ln□ 的。
1934年，P.图兰进而证明了
□1939年P.爱尔特希与M.卡茨发展了P.图兰的方法，证明了中心极限定理: 命□(□)为适合│□(□)│≤1 的强加性函数。所谓强加性函数，即当(□ ,□)=1时,□（□ ,□）=□(□)+□(□),且□又命□□。假定□(□)→∞（当□→∞时），则
□,并称之为爱尔特希-卡茨定理。
当取□(□)=□(□)，则得
□
在概率数论方面作过重要贡献的还有J.库比利乌斯、M.B.巴班、A.温特纳和P.D.T.A.埃利奥特等人。
参考书目　P.D.T.A.Elliott,Probabilistic Number Theory,Ⅰ,Ⅱ,ASer.Comp.Stu.Math.,Spr.Ver.,No.239,240,1980.
　（王元）
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熊一兵

wangyangke

定理：熊一兵作诗祝贺的的那个哥猜证明的证明人鲁思顺是个二百五。