典型的常识1/3 等于0.33333…导致五个大荒唐

一线天

下面引用由zzq1717在 2008/02/01 07:05pm 发表的内容：
这个问题好像杂糅了两个要素：
1、有理数自不同基数下的进位制问题
2、数学中无穷小的哲学基础
问题中很多与第二个要素相关，这个问题在微积分建立之初就存有争论
...

zzq1717先生说得很深刻了,所以我建议顽石先生对于主帖中的问题还是从无穷小悖论入手,不要再从二进制或六进制处入手了,因为那样没有多大的说服力.

moranhuishou

我觉得这个没什么可讨论的，你就把这样的表示看作分数的小数表示好了。因为很多时候，用分数表示很不方便也很不清晰的。例如
89/1353
你不如写成0.0652...

顽石

zq1717先生：
    谢谢您的指教，我已经拜读了好几遍。我基本上同意您的分析。
   
    我为什么十分坚持“1/3 = 0.33333…是荒唐的”这个观点，是与我的另一篇文章《自然数两大问题》中的第一个问题（自然数数量问题）有关。自然数数量问题，即全体小数和自然数是等量还是不等量？我已证明全体小数的数量与全体自然数相等。是反对康托尔的定理---全体小数多于全体自然数的数量。
    问题的关键就是数轴中点与点之间是否有距离、或者间隙存在？这些距离、或者称为间隙，或者缝隙，其实就是无穷小。于是我选择从1/3 = 0.33333…这个所谓的常识开始，发起讨论。
   
    A.    1/3 - 0.33333…33 = 0.00000…01/3
    对A式两边乘以3就得到如下B式：
   
    B.    1 - 0.99999…99 = 0.00000…01
    对B式十进制，进行二进制变换就得到如下C式：
   
    C.    1 - 0.11111…11 = 0.00000…01
    C式中的二进制0.11111…11，其小数点后面的无穷多的1，依次就是十进制的1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，1/64，……，1/2^n  二进制无穷小0.00000…01也是1/2^n  其中n→∞
   
    D.    我国2000多年前的古代哲学家庄子的著名论断：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，C式实际上就是著名的“庄子切割法”。
C式中的0.00000…01就是“万世不竭中的半”。
   
    从D推出C，从C推出B，从B推出A；
同样逻辑，也可以相反方向，从A推出B，从B推出C，从C推出D。
    因为已知，D是正确的，因此，A，B，C式也都是正确的。
   
    我们也可以用反证法证明，0至1线段，所谓连续统，是存在无穷多的间隙的。
   
    1.  假设：0至1线段，是无穷多的点连续成没有缝隙的连续统，即：点与点之间为无间隙0距离。
    2.  因为，每个点不可分，无长度为0，无穷多个点的总长度也为0长度。
    又因为根据假设，每个点与点之间为无间隙0距离，无穷多个0距离组成的总距离也为0距离，
    因此，无穷多的点和无穷多的间隙，0长度0距离之和也为0，但是，这个假设产生的“事实”，与0至1线段，明明长度为1的事实不相符合，因此，原本的假设被推翻。
    3.  结论：0至1线段中无穷多的点与点之间存在间隙，无穷多个无穷小都大于0.

zzq1717

顽石先生：你好
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恕我冒昧，对于你所谈到的“反对康托尔的定理---全体小数多于全体自然数的数量”
我并没有看明白你的证明方法
D中谈到的所谓庄子切割法，所对应的只是一个序列：1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，1/64，……，1/2^n
而这个序列与自然数相对应，并不能说明证明你所要反对的---全体小数多于全体自然数的数量
记得有一个例子，就是：0.101001000100001000001……二进制下这是一个无理数，在你的证明中，没有针对这类数（其实还有很多不能给出的无理数）给出证明，
康托尔在二进制下也是给出过证明的，证明的方法至少在逻辑上和过程中无懈可击
所以我所看到的以及我所能继续推测的，你的方法至多能证明的只是二进制中有理数与自然数的个数是一样多的，因为你其实连在二进制下所有有理小数与自然数的对应关系都没给出
事实上，从你上面的方法，我能看出的结果只是：说明了0~1之间的所有小数，可以在二进制下表示
另外对于你后面的反证法我也有些异议，在实变函数中的经典例子对此有着明确的证明：即0~1间的一个序列1、1/2、1/3、……、1/n这个无穷点集，其长度为0
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请不要责怪我武断
我没有拜读过兰佐斯的作品
但我认为，如果他写了你所引用的文字
其意图在于引起大家对于“无穷小”的思考，那么他成功了，如果打算籍此来证伪康托尔的定理，恐怕是入了歧途
我前面谈到了两点要素：
1、有理数小数在不同基数下的进位制下的表示（这里对表述方式稍作改动）
2、数学中无穷小的哲学基础
第一点是不能称之为问题的，因为这根本不算问题
第二点则是我们所不能解决的（至少是在这篇帖子里发帖的人目前所不能解决对），这才是问题的关键

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对于第一点我可以再多说一些，尽管你可能是知道这些的，但可以让其他人更好地理解这一问题
在讨论aleph0与aleph1时使用小数具有其直观的一面，也会带来其他问题，即是我们不可避免地要面对循环小数
在十进制下所有有限小数，化为分式时，其分母均具有一个特征——即在素数分解时，只含有2和5，这就是其为何有限的根源，因为作为进位基数的10只有2与5两个因数，
做一个简单证明a=2^m*5^n,那么1/a则必为有限小数，设m>n，则a整除10^m，所以10^m/a=b小于10^m的整数，b/10^m=1/a，等式左边为一有限小数
这类有限小数无论从个数上还是构造上来看都仅是有理数中极为有限的一部分
而类似1/3这这种不符合该表达方式的数则是无限循环小数，在计算的过程中我们能够轻易的整明这一点，并使用简单的数学归纳法予以证明（十进制下1/3=0.3333……）
事实上通过上面的分析，我么也能发现一点——任何一个有理数，在不同的进位制下既能表示成有限小数，也能表示成无限的循环小数比如1/2=0.5（十进制），而又1/2=0.111111……（三进制）
这样说大家可能会明白，我们只把眼光局限在数是否循环上有些过于狭隘，况且上面所讨论的还都只是有理数
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 zzq1717 在 时添加 -=-=-=-=-
老人家，恕在下鲁莽了，这个问题原本我也没有仔细想过，深究起来，很多问题不仅我说不明白，而且我也没看明白，我再去仔细想想（不一定能明白哦）……

顽石

zq1717先生：
    你问我是怎么证明全体自然数和全体小数数量相等的，此事说来话长，在东陆论坛与众多网友辩论了整整三个月，参与辩论的人次达到600多后才基本结束，《自然数两大问题》一文，在2007.11.26被论坛置顶。从2007.8.26至今，人气已达1.4万人次。如果先生有兴趣的话，可以翻开东陆论坛哥德巴赫孪生素数分论坛，观看双方激烈辩论的整个过程。自然数数量问题，属于《自然数两大问题》的第一个问题。
    全体自然数和全体小数数量相等，要点有如下：
    1.  镜像对称证明。
    2.  康托尔的十进制对角线法证明全体小数比全体自然数的数量多无穷多个，因为可产生无穷多的没有被一一对应的“新”十进制小数；而改为二进制对角线法，就只能产生一个“新”的小数，未被对应，这对无穷大来说已经毫无意义。因此，康托尔的对角线法为假。
    3.  康托尔认为全体自然数的数量级别是阿列夫0，（即具有∞的势）；全体小数的数量级别是阿列夫1，（即具有∞^∞的势）。但是，我也能证明，全体自然数的数量级别，也具有∞^∞的势，与全体小数的势相同。
    4.  只要证明0至1线段点与点之间存在间隙，就是每个点具有可数性，若无穷多个点粘连在一起，是无法分离的连续统，就不可数。但，我们可以证明连续统不存在。

一线天

>>>>康托尔的十进制对角线法证明全体小数比全体自然数的数量多无穷多个，因为可产生无穷多的没有被一一对应的“新”十进制小数；而改为二进制对角线法，就只能产生一个“新”的小数，未被对应，这对无穷大来说已经毫无意义。因此，康托尔的对角线法为假。>>>> 顽石先生:你做的二进制小数排列法,用康托尔的对角线法仍然能产生新的小数,但我做的二进制小数排列法,却能使得康托尔对角线法完全失效,即:不会再产生新的小数,你只要是参考一下我写的<<图灵停机悖论是一种数学诡辩>>就可以了解到我是怎么做二进制小数排列法的.

顽石

一线天先生:
    您的这篇在哪里?我要拜读.

顽石

                  自然数和小数的排列方式
                          任月扬
   
   
    A.    自然数的常规排列和小数的非常规排列
   
    自然数的常规排列：
    每一个自然数可用一个点来表示。便于左右翻转的全体二进制自然数序列为：1，10，11，100，101，110，111，1000，…。可以在一条向上的无穷长直线上，以等距点的形式依次列出来。若将无用的“.0”这个尾巴装配在这些二进制自然数中，那么，全体二进制自然数序列就变成：1.0，10.0，11.0，100.0，101.0，110.0，111.0，1000.0，…。
   
    小数的非常规排列：
    若将这些小数点看作向上无穷排列的等距点，左边是全体二进制自然数，右边全是0，如端点0.0到1.0，是第一个等距离线段。设端点0.0为Ｏ，以Ｏ点为中心，转动180度，就得到一条向下无限延伸的直线，全体二进制自然数排列，立即变成全体二进制小数按位数高低的依次排列：二进制小数1位有1个0.1；2位有2个0.01，0.11；3位有4个0.001，0.101，0.011，0.111；4位小数8个，5位小数16个；6位小数32个；…，ｗ位小数2^（ｗ-1）个；ｗ+1位小数2^ｗ个；…等。ｗ趋无穷大。
   
   
    B.    小数的常规排列和自然数的非常规排列
    小数的常规排列：
    1.  二进制小数0.1是1位小数，仅为1个；点在线段的中心位置上，这就将1条线段分成为左右等长的两半截线段。
    2.  二进制2位小数共有如下两个：0.01、0.11，依次点在左右两截线段的中心，从而形成4条连续的线段。
    3.  二进制3位小数共有如下4个：0.001、0.011、0.101、0.111，依从小到大从左至右，点在上述4个线段的中心，又分出8个线段。
    4.  如此，与8个线段相应的是如下8个4位小数0.0001、0.0011、0.0101、0.0111、0.1001、0.1011、0.1101、0.1111，又可分出16等分线段。
    5.  16个5位小数分出32等分，32个6位小数分出64等分，…，2^（ｗ-1）个ｗ位小数，分出2^ｗ等份线段…等。ｗ趋无穷大。如此等等。这些小数排列位数高低无序而大小有序，全体小数包括无穷多位小数一个不少全部列出。这就是0至1线段全体小数的排列状况。
   
    自然数的非常规排列：
    1.  二进制自然数1，是1位自然数，仅为1个；点在线段的中心位置上，这就将1条线段分成为左右两半截线段。
    2.  二进制2位自然数共有如下两个：10、11，依次点在左右两截线段的中心，从而形成4条连续的线段。
    3.  二进制3位自然数共有如下4个：100、101、110、111，依从小到大从左至右，点在上述4个线段的中心，又分出8个线段。
    4.  如此，与8个线段相应的是如下8个4位自然数1000、1001、1010、1011、1100、1101、1110、1111，又可分出16等分线段。
    5.  16个5位自然数分出32等分，32个6位自然数分出64等分，…，2^（ｗ-1）个ｗ位自然数，分出2^ｗ等份…等。ｗ趋无穷大。如此等等。虽然这些自然数排列位数高低无序、大小也无序，紊乱不堪。但，全体自然数包括无穷多位自然数一个不少全部列出。
   
   
    C.    镜像对称排列
   
    全体带着“.0”尾巴的二进制自然数（包括0）序列为：0.0，1.0，10.0，11.0，100.0，101.0，110.0，111.0，1000.0，…。在0.0点处，竖放一面镜子，镜内就显示全体二进制小数序列：0.1，0.01，0.11，0.001，0.101，0.011，0.111，0.0001，…。两个序列组成的直线，无穷无尽长。
   
   
    最后，我要问朋友们如下问题：
    1.  A，B，C，共三种方式的排列，是否确实将全体自然数和全体小数全部都排列出来了？
    2.  它们各种排列方式的自然数小数数量是否全部相同？
    3.  它们各自的点与点之间是否始终存在间隙？
    4.  “上帝”早在我们人类出现之前，就已经存在这些排列方式，并且万能的“上帝”排列一下子，就已经完成了！我们现在只是实践一下而已。并且，设想我们也能一下子排列完成！那么，我们的排列与“上帝”的排列完全相同吗？我声明：在这里，“上帝”只是一种比喻超人类的能力。这些排列是客观的实在，它是并不依赖人的意志如何而改变！这就是所谓的“实无穷观点”。
    “实无穷观点”正确吗？
    5.  “上帝”也不知道“无穷大”究竟有多大！运动最快的物质是光子，光子的速度30万千米/秒，要到达可观察宇宙的边缘，需要140亿年，这就是可观察宇宙半径的长度有140亿光年；
    人类思维的速度比光子的速度快多了，仅仅用0.01秒就飞到了可观察宇宙的边缘！
    而“上帝”思维速度，能在0.0000000000000000001秒时间内，就可穿透可观察宇宙直径这个距离单位的10^1000000000000000000倍，甚至在这个时间内“上帝”的思维，已飞越宇宙直径的∞^∞倍！！！
    用一厘米一个点，代替1个自然数，“上帝”书写自然数的速度与其思维速度相同。但非常遗憾！“上帝”书写自然数至今，仍然书写不到“无穷大”的尽头！现在这位“上帝”终于无奈地说：我也无法书写完自然数！这个过程永远完成不了！！！因为无穷大早已被定义为一个过程，因此永远到不了“目的地”。这就是“潜无穷观点”。
    “潜无穷观点”正确吗？
    6.  有人认为一条无穷长直线上的无穷多个点，通过一一对应方法，可以1个不少全部转移到一条任意长短的有限线段上。不错，能完成一一对应，但是，无限长直线上的无穷多个点，对应到有限线段上时，这些无穷多的点与有限线段终端还有距离，并且永远到不了这个终端！原因是遇到了平行线！
    与此相类似，有如下过程：
    有一条笔直的无穷长道路：宽30米，每隔100米有10米高的1柱路灯，C先生，站在道路中央的隔离带上，放眼远望，就会看到两排路灯间隔距离从大到小，越来越小越来越小…，一直消失在天边的地平线上一点中。C先生看到的情景，犹如看到一个“不”字，一横是地平线，一竖是隔离带，一撇一捺是两排路灯。“不”字是尖头顶着一横，尖头顶点，就是无穷多路灯的消失点。C先生是视力超人，能看到150公里内的30米的距离和物体。也只能看到两边共3000柱路灯，但，仍然是：∞ - 1500 = ∞
    无穷多的路灯，映入视网膜中，最终几乎都在看不见的一点中。
    现在要问：无穷多的路灯是否已经全部被看完了？有人会说：因为人的能力有限，映入视网膜中的无穷多路灯只看到3000柱，其它无穷多的路灯无法看见。
    那么，没有被C先生看见的无穷多路灯是否存在呢？
    道路是否最终闭合了？即，是否两边路灯最终都与隔离带闭合？
    是否两边路灯闭合以后道路没有了？无穷多路灯都没有了呢？
    思维飞越的过程，是否最终结束了呢？
   
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    向全体论坛上我的正方和反方先生们、朋友们、版主和管理员们拜年！
    祝2008年新春快乐！万事如意！
    祝论坛百家争鸣欣欣向荣！
    祝民主科学发展！
    祝数学理论创新！
                                        （2008.2.7春节）

顽石

yuhc 先生:
    谢谢您的理解和支持!!!

一线天

下面引用由顽石在 2008/02/04 07:44pm 发表的内容：
一线天先生:
    您的这篇在哪里?我要拜读.

顽石先生：我的那篇文章很多人都读不懂，干脆我就直接的给你做一个[0，1]区间二进制全体小数的排列法，看一看康托尔的对角线法在我的这个排列法中究竟还能不能再起作用？：
首先：我们将[0，1]区间的所有二进制小数全都写成0.a1a2a3a4a5........的形式.
我先来做第一组二进制小数:令a1=0和a1=1,其余数位的小数全都等于0,如下:
  0.00000000.......
  0.10000000.......
我们称这两个小数为a1级小数,然后,将这两个小数的a2位全都变成1,则得到两个a2级的小数,如下:
  0.01000000.....
  0.11000000.....
第三步,我们将a1级和a2级的四个小数的a3位全都变成1,则得到四个a3级的小数,如下:
0.0010000......
0.1010000......
0.0110000......
0.1110000......
第四步,我们将前三级的八个小数的a4位全都变成1,则得到八个a4级的小数,如下:
0.0001000.......
0.1001000.......
0.0101000.......
0.1101000.......
0.0011000.......
0.1011000......
0.0111000......
0.1111000......
  第五步,将前四级的十六个小数的a5位全都变成1........依此类推,直至无穷.
现在请你将所有的二进制小数排列在一起,看一看还能用康托尔的对角线法从中找出来一个不在这个数列之中的新小数吗?
  顽石先生若是没看懂,我有时间再给你详细的讲解.