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楼主: 天山草

【分享】交流一下 Mathematica 编程方法,期望学习该软件的网友积极参与

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 楼主| 发表于 2013-10-29 12:15 | 显示全部楼层

【分享】交流一下 Mathematica 编程方法,期望学习该软件的网友积极参与

[这个贴子最后由天山草在 2013/10/29 07:37pm 第 1 次编辑]

做那道几何题时,我原以为 mathematica 有能力判定两个代数式是否恒等,现在明白了,不行。这个软件目前还没有这项功能。要是有这个功能,那可就有用处了,可惜不行啊。就算是很简单的公式,例如 (x+1)(x-1) 是否与 x^2-1 恒等,它也判定不出来。
解决的办法只能是给未知量赋以具体值,不论公式多复杂也能算出来。如果单独列出公式结果,可能公式会极其复杂(虽然如此,也还是能给出的,可能 A3 的纸要写十几页),这就是“产生了一个很大的输出”的意思。
   两个很复杂的公式是否恒等,若是单靠人工判断,那是行不通的。希望以后的软件能解决这个问题。如果用许多组具体值代入公式计算,若都相等,也可以证明恒等。但是至少需要用多少组值来试验,这问题就难了。还有一个困难的地方,就是数值计算总有一定的精度,不可能算得绝对准确,那多高的精度才能符合证明的要求,也不好说清楚。
   你的程序我看不懂,不知为何算不出结果。按理说,结果即使很复杂,也应该能算得出来。

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发表于 2013-10-29 12:42 | 显示全部楼层

【分享】交流一下 Mathematica 编程方法,期望学习该软件的网友积极参与

那道题,用坐标求解,你的方法显然计算量太大,用复数却可以很快算出来,复数的优点学术界早已公认,但是有些问题即使用复数,仍然很难。
论文 http://crad.ict.ac.cn/zhuantipaper/130918.pdf 中,
张景中院士和其合作者应用Mathematica编出几何证明器,可以高效率解决这类问题,有兴趣可以下载什么链接中的论文。论文中的五圆定理很有意思,不过我还没有证明。
 楼主| 发表于 2013-10-29 20:17 | 显示全部楼层

【分享】交流一下 Mathematica 编程方法,期望学习该软件的网友积极参与

下面引用由denglongshan2013/10/29 00:42pm 发表的内容:
论文 http://crad.ict.ac.cn/zhuantipaper/130918.pdf 中,
张景中院士和其合作者应用Mathematica编出几何证明器,可以高效率解决这类问题,有兴趣可以下载什么链接中的论文。论文中的五圆定理很有意思,不过我还没有证明。
这篇论文还比较新嘛。文中谈到“唐灵在第六届国际几何自动推理会议上提出了共轭比和向量商概念,并根据它们推导出系列公式,……”可见您的东西还是被人认可的。
发表于 2013-10-29 23:18 | 显示全部楼层

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 楼主| 发表于 2013-10-30 09:50 | 显示全部楼层

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[这个贴子最后由天山草在 2013/10/30 00:07pm 第 1 次编辑]

看了下张景中的那篇论文。张提出的是基于复数的方法,让精通计算机的李涛用此方法搞了一个新的 CNMP 证明器。在证明器中构建了一整套自定义函数,这些函数大概都是用 mathematica 语言定义的或构建的吧?在“五点圆”的证明中,每个“点”的位置的表达式都不算太复杂,其中最复杂的要算是 O3 点吧,但是也还不很复杂,所以 mathematica 能够胜任。
  张景中的论文中不可能给出“证明器”的软件清单,那是人家的专利。他们的成功诀窍可能在于“点、线、角”等的表达式都不会很复杂,因此“效率高”。而“共轭比”方法有可能在某些情况下导致表达式有些复杂, 以致于 mathematica 不能胜任。
   而本人以前使用“点的直角坐标法”解题,公式的复杂性则会数百倍的大大增加,所以只能用具体数值进行计算,不能作为一种证明方法。
   以上只是一些不成熟的看法。
    关于张景中对五点共圆的证明方法,本人目前自认为是看懂了,下面就用这方法做一做,看看能不能做出来。
 楼主| 发表于 2013-10-30 12:08 | 显示全部楼层

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[这个贴子最后由天山草在 2013/11/08 09:30pm 第 1 次编辑]

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 楼主| 发表于 2013-10-30 12:08 | 显示全部楼层

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[这个贴子最后由天山草在 2013/10/30 00:22pm 第 1 次编辑]

对于上面这个证明题,张景中的方法是这样的:
不失一般性,令 A 点的复数坐标是(0,0i),B 点的坐标是(1,0i),
C 点的坐标是(a,bi),D1 点的坐标是(u,vi),E1 点的坐标是(s,ti),
以下将根据事先求得的公式【这些公式作者没有公布,不过大家也可以试着推导出来】,借助于 mathematica 这个软件平台,解出以下各点的坐标:F,G,H,J,K,O1,O2,O3,O4,O5,A2,B2,C2,D2,E2 以及∠A2D2B2, ∠A2C2B2, ∠A2E2B2 的表达式。
   最终若能推出上述三个角是相等的,则证明了五点共圆。
 楼主| 发表于 2013-10-30 12:09 | 显示全部楼层

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[这个贴子最后由天山草在 2013/10/30 04:57pm 第 7 次编辑]


先求 F 点的坐标。F 点是直线 BC 和直线 D1E1 的交点。这两条直线是由四个点B,C,E1,D1 决定了的,而这四个点的复数坐标现在是已知的。我们借助于 mathematica 来算一下直线 BC  与直线 D1E1 交点的复数坐标。

我倒要看看,“坐标法”与“复数坐标法”究竟哪里不一样?

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 楼主| 发表于 2013-10-30 12:31 | 显示全部楼层

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[这个贴子最后由天山草在 2013/11/10 08:04am 第 9 次编辑]

下面计算五个三角形的外接圆圆心坐标。由不在同一直线上的三个点A(XA,iYA),B(XB,iYB),C(XC,iYC) 组成的三角形的外接圆圆心坐标,其表达式是个啥呢?哎哟,张景中没有告诉我,还得自己推导呀。好吧,试试看。

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 楼主| 发表于 2013-10-30 12:31 | 显示全部楼层

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[这个贴子最后由天山草在 2013/10/31 08:51pm 第 7 次编辑]


至此,已经求出了 10 个点的复数坐标,其结果均与张景中论文中的完全相同,初战告捷。
下面进行第三战役,就是求出五圆的另外五个交点的复数坐标。

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