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发表于 2024-1-2 03:45
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本帖最后由 春风晚霞 于 2024-1-2 02:45 编辑
elim先生
Canchy极限趋近说,强调的是过程,如〖把n→∞时,\(a_n→a\),则称常数a为数列\(\{a_n\}\)的极限。优点:直观易懂,缺点不定因素较多。如Cauchy不能证明由他自已创立的“数列收敛准则”的充分性〗(参见周民强《实变函数论》P71页笫1行)。
如以数列\(\{a_n\}\)为例,通过观察数列\(|a_n-a|\)收敛于0,于是得到\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}|a_n-a|=0\),由于这个“0”是以0为极限变量,这样这就造成了当n→∞时,\(|a_n-a\)的取值可能是无穷小量集合\(\{α_1,α_2,α_3,……\}\)的任一元素。易证数列\(\{α_i\}\)单调递减.
Weierstrass 在Cauchy的基础上提出极限的ε—N定义. 从理论上讲,当\(ε_0=inf\{α_i\}\)时,\(|a_n-a|<ε_0\)的值就只有\(|a_n-a|=0\)了.又因对任给的ε>0,存在\(N_{ε_0}\),当n>\(N_{ε_0}\)时,恒有|\(a_n-a|<ε_0\),所以当n>\(N_{ε_0}\)时恒有|\(a_n-a\)|=0,即\(a_n=a\).又因对任给的ε>0。集合\(\{n|n>N_ε,n∈N\}\supset\)\(\{n|n>N_{ε_0},n∈N\}\)。所以对ε>0,当n>\(N_ε\)恒有\(a_n=a\).
所以在Weierstrass的ε—N定义中ε的任意性保证了板限取值的唯一性. 亦即由ε的任意性保证了\((n→∞时,a_n=a\)而不是\((n→∞时,a_n→a\)
2、若\(当n→∞时a_n→a\)即\(当n→∞时a_n≠a\)
假设\(当n→∞时a_n≠a\),则必有|\(a_n-a\)|=α>0,取\(ε=\frac{α}{2}\),则|\(a_n-a\)|=α>\(ε=\frac{α}{2}\)=ε,这与\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)予盾.
故此,\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)\(\Longleftrightarrow\)\((n→∞)时,a_n=a\).
elim先生;春风晚霞至此应该回答请楚了你的【本来极限说的是随 n 无限增大,\(a_n\)趋于你为啥一点要把趋于叫作等于】质疑。
现在我们共同分析【你令 ε=1/(2n), 就是玩这种反求。其实 1/n 是正整数 n 的乘法逆,所以又 n(1/n) = 1 因而 1/n 不等于 0. 所以不论逆咋样绕,都不会有你要的可达性。只有把无穷大加作为特殊元加到皮亚诺的正整数,才有1/n = 0,n=但这已经不是原来意义上的可达了】.
对于数列\(\{\tfrac{1}{n}\}\),因\(\mathbb{N}^+\)是无限集,根据恩格斯悖论,无限纯粹是由有限组成的,而有限多个有限依然是有限,只有无限多个有限才能构成无限。所以任给能具体写出的n∈\(\mathbb{N}^+\),n都是有限的,都有\(\tfrac{1}{n}>0\),但是\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}\tfrac{1}{n}=0\)却是不争的事实。所以,当n→∞时,\(\tfrac{1}{n}\)可取无穷小量集合\(\{α_1,α_2,α_3,……\}\)的任一元素。由于数列\(\{α_i\}\)单调递减。所以存在\(ε_0=inf\{α_i\}\),所以当\(\tfrac{1}{n}<ε\)时,便只有\(\tfrac{1}{n}=0\)唯一的情形了。由于对任给的ε>0,存在\(N_{ε_0}\),当n>\(N_{ε_0}\)时,恒有|\(tfrac{1}{n}-0|<ε_0\),所以当n>\(N_{ε_0}\)时恒有|\(\tfrac{1}{n}-0\)|=0,即\(\tfrac{1}{n}=0\).又因对任给的ε>0。集合\(\{n|n>N_ε,n∈N\}\supset\)\(\{n|n>N_{ε_0},n∈N\}\)。所以对ε>0,当n>\(N_ε\)恒有\(\tfrac{1}{n}=0\).这样我们也就证明了在数集\(\mathbb{N}^+\)中存在n(存在但未必能具体写出来)使得当\((n→∞)时,\tfrac{1}{n}=0\)了。所以对于数列\(\{\tfrac{1}{n}\}\)同样有\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}\tfrac{1}{n}=0\)\(\Longleftrightarrow\)\((n→∞)时,\tfrac{1}{n}=0\),并且(n→∞)时,1/n = 0仍是原来意义上的可达! |
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