梅森数探索点滴 广义梅森素数表

yangchuanju

在尚未完全分解的梅森数中，最小的复合因子是2^1217-1<367>的1599862690...13<C248>，
2^1217-1<367>=1045741327<10>×6116773272...79<55>×2205339002...99<56>×1599862690...13<248>
第2个素因子等于6116773272167843384976777858063213917010557325918356879——55位
第3个素因子等于22053390021902056444354293154701006674049109757797668799——56位
梅森数2^1217-1等于2256860539307393105011327329377011038103787896235450685421418815999277883882438081825667093264603044024991209099357269234625403589861921393867700290549018439799210439036894036739316763396676665200668451067534577006194941659478827887479039428662128356194410007853719090458077244657854235383855942530190262213802290413079280077010045004063560752944055732277904851075071
梅森数除以第1、第2和第3素因子等于15998626902122785734478916025259371445087839066846331843763775490851714167735345664056701978718195915214824941034106110533345761829269920128282514453043980438376392031003178144844531369491923452362083612934632103158494908388545475693079542033948513——248位
复合因子平方根3999828359082772658479476607994569620765178450883469776277365413601013103175014799691629403314619604784087148266530959496800——124位
复合因子平方根除以2*1217等于1643314855826940286967738951517900419377641105539634254838687515859085087582175349092699015330575022507841885072527099218——121位
248位复合因子中一定含有大于56位第3素因子，小于124位平方根的第4个素因子。

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梅森数中的素因子都是2kp+1型，其中不含平方因子；
梅森数若只有一大一小二个素因子，则小因子小于梅森数的平方根，大因子大于梅森数的平方根；
梅森数若含有3个或3个以上的素因子，则第1、第2个小因子一定小于梅森数的平方根，大因子不一定大于梅森数的平方根。
梅森数2^1217-1中的未分解到底的复合因子248位，尚大于总位数367的一半183位，
但复合因子中的素因子不会小于56位，不会大于248-56+1=193位，据此该梅森数的大因子有可能大于梅森数的平方根，也有可能小于其平方根。

第3个素因子p3等于22053390021902056444354293154701006674049109757797668799
找到第3个素因子p3意味着已经试除到了k=(p3-1)/(2*1217)=9060554651562060987820169743098195018097415676991647——52位
若用太阳试除法继续试除之，从k+1=9060554651562060987820169743098195018097415676991648——52位开始
试除到1643314855826940286967738951517900419377641105539634254838687515859085087582175349092699015330575022507841885072527099218——121位
尚需（至多）试除181370227212704790725664093259305684155078671537705667434014404511773次——69位数
亦有可能试除若干次后就找到第4个大于等于56位的素因子，
248位复合因子究竟还含有几个素因子尚不清楚。

yangchuanju

所有的梅森数因子（素因子或复合因子）都具有2kp+1的形式，包括梅森数自身也可表示成2kp+1的形式。

2^3-1=7=2*1*3+1
2^5-1=31=2*3*5+1
2^7-1=127=2*9*7+1
2^9-1=511=2*28.333*9+1≠2k*9+1
2^11-1=2047=23*89=(2*1*11+1)*(2*4*11+1)=2*93*11+1
2^13-1=8191=2*63*65+1=2*315*13+1
2^15-1=32767=7*31*151=(2*1*3+1)*(2*3*5+1)*(2*5*15+1)=2*1092.2*15+1≠2k*15+1
2^17-1=131071=2*255*257+1=2*3855*17+1
2^19-1=524287=2*511*513=2*13797*19+1
2^21-1=2097151=2*49932.143*21+1≠2k*21+1
2^23-1=8388607=47*178481=(2*1*23+1)*(2*3880*23+1)=2*182361*23+1

不能表示成2kn+1形式的2^n-1型数字都不是梅森数。

yangchuanju

2^3-1=7, 7=2*3+1
2^9-1=511=7*73, 73=2*4*9+1
2^27-1=134217727=7*73*262657, 262657=2*4864*27+1

2^5-1=31, 31=2*3*5+1
2^25-1=33554431=31*(601*1801), 601=2*24*25+1, 1801=2*72*25+1, 1082401=2*21648*25+1
2^125-1=42535295865117307932921825928971026431<38>=31*(601*1801)*(269089806001<12>*4710883168879506001<19>)

2^7-1=127, 127=2*9*7+1
2^49-1=562949953421311<15>=127*4432676798593<13>, 4432676798593=2*45321395904*49+1
2^343-1=127*4432676798593<13>*(6073159*1428389887<10>*62228099977<11>*5896180447...57<62>)

2^15-1=2^(3*5)-1=32767=7*31*151, 151=2*5*15+1
2^21-1=2^(3*7)-1=2097151=7^2*127*337, 337=2*8*21+1
2^35-1=2^(5*7)-1=34359738367<11>=31*127*(71*122921), 71=2*35+1, 122921=2*1706*35+1
2^105-1=2^(3*5*7)-1=7^2*31*127*151*337*(71*122921)*(29191*106681*152041), 29191=2*139*105+1, 106681=2*508*105+1, 152041=2*724*105+1

梅森数2^p-1的素因子都具有2kp+1的形式；
2^(p^2)-1的较大素因子或复合因子具有2k*p^2+1形式；
2^(p^3)-1的较大素因子或复合因子具有2k*p^3+1形式；……

2^pq-1=(2^p-1)*(2^q-1)*(2k*pq+1)，余因子具有2k*pq+1的形式；
2^pqr-1=(2^p-1)*(2^q-1)*(2^r-1)*(2k1*pq+1)*(2k2*pr+1)*(2k3*qr+1)*(2*k*pqr+1)，余因子具有2k*pqr+1的形式；
……

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2^3-1=7含有素因子7；
2^21-1=2^(3*7)-1=2097151=7^2*127*337，21=3*7，含有素因子7的平方；
2^147-1=2^(3*7*7)-1=7^3*127*337*4432676798593<13>*2741672362528725535068727<25>,  147=3*7*7，含有素因子7的立方；
……

2^4-1=15=3*5含有素因子5；
2^20-1=1048575=3*5^2*(11*31*41),  20=4*5含有素因子5的平方，大复合因子中的11、31、41都是2k*5+1型；
2^100-1=1267650600228229401496703205375<31>=3*5^3*(11*31*41)*(101*251*601*1801*4051*8101*268501),  100=4*5*5含有素因子5的立方，大复合因子中的101、251、601、1801、4051、8101、268501都是2k*25+1型；
2^500-1<151>=3*5^4*(11*31*41)*(101*251*601*1801*4051*8101*268501)*(7001*28001*96001*3775501*229668251*269089806001<12>*4710883168879506001<19>*47970133603445383501<20>*94291866932171243501<20>*5519485418336288303251<22>), 500=1*5*5*5含有素因子5的4次方，大复合因子中的各个小因子都是2k*125+1型；
……

yangchuanju

以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在2^(p-1)-1中，以后指数每增大p-1，又出现一次；
非以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在指数等于(p-1)的某个约数中，以后指数每增大p-1的同一个约数，又出现一次。

以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在2^(p-1)-1中，素因子p的平方第一次出现在2^[(p-1)*p]-1中，以后指数每增大（p-1）*p，又出现一次；
素因子p的立方第一次出现在2^[(p-1)*p^2]-1中，以后指数每增大（p-1）*p^2，又出现一次；……

非以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在指数等于(p-1)的某个约数(p-1)/k中，以后指数每增大(p-1)/k，又出现一次。
素因子p的平方第一次出现在2^[(p-1)/k*p]-1中，以后指数每增大（p-1）/k*p，又出现一次；
素因子p的立方第一次出现在2^[(p-1)/k*p^2]-1中，以后指数每增大（p-1）/k*p^2，又出现一次；……

yangchuanju

以2为原根的素数有：
3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797，……
例：素因子3，第一次出现在2^2-1中，以后指数每增加2循环出现一次；素因子5，第一次出现在2^4-1中，以后指数每增加4循环出现一次；素因子11，第一次出现在2^10-1中，以后指数每增加10循环出现一次；……

素数7、23、31以2为基的原根分别是3、11和5，分别等于7-1、11-1和31-1的1/2、1/2和1/6，在2^n-1中，素因子7、23、31第一次出现在n=3、11、5时，以后n每增加3、11、5循环出现一次。

yangchuanju

以2为底（基）的φ因子       
除2以外的所有素数均可是某些2^n-1的素因子，第一次出现的素因子又被赋予一个专用名称——φ因子；对应于某个指数n，φ因子可能是1个或多个。       
n        φ因子
1        ——
2        3
3        7
4        5
5        31
6        ——
7        127
8        17
9        73
10        11
11        23 89
12        13
13        8191
14        43
15        151
16        257
17        131071
18        19
19        524287
20        41
21        337
22        683
23        47 178481
24        241
25        601 1801
26        2731
27        262657
28        29 113
29        233 1103 2089
30        331
31        2147483647
32        65537
33        599479
34        43691
35        71 122921
36        37 109
37        223 616318177
38        174763
39        79 121369
40        61681
41        13367 164511353
42        5419
43        431 9719 2099863
44        397 2113
45        631 23311
46        2796203

yangchuanju

以2为底（基）的φ因子
个数        n        φ1        φ2        φ3
3        47        2351        4513        13264529
2        48        97        673       
1        49        4432676798593<13>               
2        50        251        4051       
3        51        103        2143        11119
3        52        53        157        1613
3        53        6361        69431        20394401
1        54        87211               
3        55        881        3191        201961
1        56        15790321               
2        57        32377        1212847       
2        58        59        3033169       
2        59        179951        3203431780337<13>       
2        60        61        1321       
1        61        2305843009213693951<19>               
1        62        715827883               
2        63        92737        649657       
2        64        641        6700417       
1        65        145295143558111<15>               
2        66        67        20853       
2        67        193707721        761838257287<12>       
3        68        137        953        26317
1        69        10052678938039<14>               
2        70        281        86171       
3        71        228479        48544121        212885833
2        72        433        38737       
3        73        439        2298041        9361973132609<13>
2        74        1777        25781083       
2        75        100801        10567201       
3        76        229        457        525313
1        77        581283643249112959<18>               
1        78        22366891               
3        79        2687        202029703        1113491139767<13>
1        80        4278255361<10>               
3        81        2593        71119        97685839
2        82        83        8831418697<10>       
2        83        167        57912614113275649087721<23>       
2        84        1429        14449       
1        85        9520972806333758431<19>               
1        86        2932031007403<13>               
2        87        4177        9857737155463<13>       
2        88        353        2931542417<10>       
1        89        618970019642690137449562111<27>               
1        90        18837001               

太阳

yangchuanju 发表于 2022-1-25 07:48
以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在2^(p-1)-1中，以后指数每增大p-1，又出现一次；
非以2为原根的素数 ...

意义不大，找不到大素数