勾股数新公式

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，则 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。

若 33^(2n)+32^(2n+1) 是素数，则 10 是素数 33^(2n)+32^(2n+1) 的原根。

若 513^(2n)+512^(2n+1) 是素数，则 10 是素数 513^(2n)+512^(2n+1) 的原根。

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-7 15:37
求数列 19, 62, 143, 348, 839, 2026, 4891, 11808, ... 的通解公式，

\[a_n=\frac{(48 - 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^n + (48 + 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^
    n}{4}  \]

蔡家雄

等差勾股方程新表述

设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型，

且 a 与 p 互素，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。

若 p 有 t个 不同的素因子，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组 通项公式。

蔡家雄

等和勾股方程新表述

设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型，

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= p ，

若 p 有 t个 不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

蔡家雄

若 2^(4t+1)*3+1 是素数，则 10 是素数 2^(4t+1)*3+1 的原根。

若 2^(4t+2)*3+1 是素数，则 10 是素数 2^(4t+2)*3+1 的原根。

Treenewbee

若 2^(4t+1)*3+1 是素数，

{1, 10, 47, 50, 52, 88, 797}

则 10 是素数 2^(4t+1)*3+1 的原根。

{52}不符

蔡家雄

由 \((y^2 - x^2)^2+(2xy)^2=(y^2+x^2)^2\) ,

设 \(x, y\) 为正整数，且 \(x < y\)，且 \(x与y\) 互素，

求 \(|y^2 - x^2 - 2xy| =2023\) 的 \(2^2\) 组 \(( x , y )\) 的通解公式，

即 两直角边相差 \(2023\) 的本原勾股方程 的通解公式。

\(x, y\) 是 \(A_{n}=\frac{(64 - 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 + 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(B_{n}=\frac{(88 - 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 + 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(C_{n}=\frac{(64 + 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 - 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(D_{n}=\frac{(88 + 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 - 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

蔡家雄

\(x^2 - 53*y^2 = ±1\) 的递推公式

\(x_{0}=1, x_{1}=182, x_{2}=66249, x_{n+1}=364*x_{n} + x_{n-1}\) ,

\(y_{0}=0, y_{1}=25, y_{2}=9100, y_{n+1}=364*y_{n} + y_{n-1}\) ,.

则 \(lim_{n→∞}\)   \(x_{n}/y_{n} = \sqrt{53}\) .

蔡家雄

求数列的通解公式，

1, 1, 3, 4, 11, 15, 41, 56, 153, 209, 571, 780, 2131, 2911, 7953, 10864, 29681, 40545, 110771, 151316,

413403, 564719, 1542841, 2107560, 5757961, 7865521, 21489003, 29354524, 80198051, ....................

王守恩

蔡家雄 发表于 2023-3-11 23:39
求数列的通解公式，

1, 1, 3, 4, 11, 15, 41, 56, 153, 209, 571, 780, 2131, 2911, 7953, 10864, 29681 ...

“爬楼梯”按钮，LinearRecurrence[{0, 4, 0, -1}, {1, 1, 3, 4}, 30]

{1, 1, 3, 4, 11, 15, 41, 56, 153, 209, 571, 780, 2131, 2911, 7953, 10864,
29681, 40545, 110771, 151316, 413403,  564719, 1542841,  2107560,
5757961, 7865521, 21489003, 29354524, 80198051, 109552575}

\(a_n=\frac{(1+\sqrt{3}\mod(n,2))(2+\sqrt{3})^{\lfloor n/2\rfloor}}{2\sqrt{3}}\)

与昨天还不是一样的？