推翻数学大厦的蚂蚁问题

Nicolas2050

不客气的说，这类问题是北大数院教授考虑的问题【限国内，全世界数学界他们都排不上号】　，一般智商与学历经历的人连个数学分析都没学明白。类似一个农民工整天讨论外交国际事务，眼界与能力都不够格。

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-21 00:09
elim先生
       如果先生把命题【\((\displaystyle\lim_{x\to ∞}a_m=a)\)\(\implies\)\((当n→∞时a ...

先生怎么有了指鹿为马的习惯了？不重合的曲线楞说重合，就为了能引用不同论城的名言？

elim

Nicolas2050 发表于 2023-12-21 03:17
不客气的说，这类问题是北大数院教授考虑的问题【限国内，全世界数学界他们都排不上号】　，一般智商与学历 ...

不客气地说，先生没弄懂问题．

春风晚霞

痛打落水狗 发表于 2023-12-21 09:05
感谢先生回复。但是这样一来事情就清楚了，很遗憾，您恐怕确实对徐利治先生这段论述作出了错误理解。
首 ...

一、徐先生定义的是极限表达式(*)“可实现”，但从中看不出来他更改了函数极限的定义，换句话说，总得先定义极限，才能有极限表达式“可实现”的概念，因此总的来说不可能得出与经典分析不同的结果。
       痛打先生：徐利治先生所说的极限表达式(*)正是经典分析中的单调函数表达式，徐先生所说的极限定义亦是经典分析中的威尔斯特拉斯极限定义。但在经典分析的应用上还存在极限\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\tfrac{1}{x}=0\)，但\(\tfrac{1}{x}\)永远不等于0的认知。若按“可实现”的定义，函数\(y=\tfrac{1}{x}\)在区的(0，∞)连续(在开区间端点处，考虑左端点右连续，右端点左连续)。所以有当\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\tfrac{1}{x}=0\)，时x→∞，\(\tfrac{1}{x}=0\)。
二、从条件ii)f(x)=A当且仅当\(x=x_0\)，确实可以得出单调连续函数的极限表达式在其定义域内各点都是“可实现”的。
       既然二无异义，不在赘述
第三、数列是定义在自然数集或整数集上的函数，与定义在实数域上的函数并不相同，数列可以单调，但恐怕并未见过“连续数列”的概念，因而无法简单套用，更得不出类似“任何数列的极限表达式都在无穷多个整数处可实现”的结论。
       是的。数列是离散函数。确实也没有“连续数列”这样的提法。但离散函数\(a_n=f(n)\)总可看作连续函\(y=f(x)\)中的一系列孤立点。如\(a_n=\tfrac{1}{n}\)总可看作连续函数\(y=\tfrac{1}{x}\)上的一系列孤立点。所以由有若\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\tfrac{1}{x}=0\)，则有n→∞时\(\tfrac{1}{n}=0\)。
第四，n→∞与\(x→x_0\)以及x→∞是各不相同的极限过程，即便是徐先生这个定义，也不曾包含针对广义实数集中“无穷大”的情况，但不知您提到的该节注2是否包含相关内容？
       是的。n→∞与\(x→x_0\)以及x→∞是各不相同的极限过程。无论是经典分析还是徐先生的“可实现”的定义，都不包括实数集中“无穷大”。但在讨论连读区间如(0，+∞)时我们则需考虑右端点左连续。
第五，对于数列，即便效仿徐先生的定义，也应当有类似条件ii) 的a(n)=A当且仅当\(n=n_0\)之类条件，这完全是一个初等问题，很显然，本楼中讨论的几个级数均不满足该条件。不知注2是否包含相关内容。
       注2只讲了两点：①离散函数\(a_n=f(n)\)中的点(n，f(n))可看作是连续曲饯\(y=f(x)\)上的对应点(x，f（x));②在开区间上的连续函数需考虑区间端点的单侧极限。关于本楼讨论的几个极限请参阅春风晚霞160帖文。
第六，综合四五两间点，春风晚霞先生还需函要介绍一下注2的函具体内容，才能弄清函来龙去脉。
       请参阅第五条的回复。

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-21 10:41
先生怎么有了指鹿为马的习惯了？不重合的曲线楞说重合，就为了能引用不同论城的名言？

到底是春风晚霞指鹿为马，还是不重合的曲线楞说重合？先生看看图不就知道了。

门外汉

Nicolas2050 发表于 2023-12-21 10:17
不客气的说，这类问题是北大数院教授考虑的问题【限国内，全世界数学界他们都排不上号】　，一般智商与学历 ...

很客气的说，井上之蛙一幅高高在上的样子，跳出来有几个年头了吧

痛打落水狗

春风晚霞 发表于 2023-12-21 11:32
一、徐先生定义的是极限表达式(*)“可实现”，但从中看不出来他更改了函数极限的定义，换句话说，总得 ...

感谢提供。那么根据极限表达式可实现的定义及其注释，更加可以肯定，徐利治先生的定义与经典分析并无任何矛盾之处，但春风晚霞先生过度发挥，对徐先生的论述作出了错误理解。春风先生的“\(n\to\infty\)时\(\frac{1}{n}=0\)”是错误的，相信徐先生的任何一本书上的任何一行都不会存在这样的写法。

春风晚霞

痛打落水狗 发表于 2023-12-21 12:51
感谢提供。那么根据极限表达式可实现的定义及其注释，更加可以肯定，徐利治先生的定义与经典分析并无任 ...

待会参阅正在编辑的160楼帖文。

痛打落水狗

另外，经典分析中从未见过有实变函数在\(+\infty\)处左连续或在\(-\infty\)处右连续的定义，相信徐先生的书也不会例外。
而在一些实分析课本中，确实可以利用广义实数集，对\(x\to+\infty\)或\(x\to-\infty\)或\(x\to\infty\)时有极限的函数\(f\)进行连续延拓，例如令\[f(+\infty)=\lim_{x\to\infty}f(x),\] 当\(f(x)=\frac{1}{x}\)时有\(f(+\infty)=0\), 甚至可以写成\(\frac{1}{+\infty}=0\), 只要上下文定义清楚，就没有问题。但是，绝不会出现“\(x\to\infty\)时\(\frac{1}{x}=0\)”这样四不像的写法，也根本不需要画蛇添足地定义所谓\(+\infty\)处的左连续。

痛打落水狗

再补充一点，尽管参照上述内容可以有，若数列\(a(n)\)通项公式为\(a_n=\frac{1}{n}\)，则可以定义\(a(+\infty)=0\)，但也绝无任何理论导致“存在一个自然数\(n\)使得\(a(n)=0\)”这样的结论，更遑论“存在无穷多自然数\(n\)使得\(a(n)=0\)”。
而使用数学软件作图，当然可以帮助我们理解数学问题，但并不是进行数学证明的正确方法。如果能够使用数学软件的局部缩放功能充分放大图像，并且屏幕分辨率足够，不难发现所谓“重合”只不过是假象罢了。或者从数学软件作图的原理来看，其图像最终是依据一个数组画出来的，只要查看这个数组，不难发现其中没有任何一个数为0。如果用程序语句查找数组中等于0的项，也将发现返回的不过是空集。