\(\Large\color{blue}{关于极限可达问题的讨论}\)

elim

春风晚霞 发表于 2024-1-14 22:02
很对不起，你的【反正法．若 1/n=0, 两边乘以 n 得 1=0 的矛盾】，是在舍去(n→∞)这个条件中得到的！故 ...

我说不存在正整数使 1/n = 0.  先生的趋于无穷的n如果还是正整数，就还是出矛盾．如果不是正整数了，那么我说的话【不存在正整数使 1/n = 0】还是对的．

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-15 13:16
我说不存在正整数使 1/n = 0.  先生的趋于无穷的n如果还是正整数，就还是出矛盾．如果不是正整数了，那 ...

算了，我还是再给您证明一次，已知\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)条件下，(n→∞)时\(\tfrac{1}{n}=0\)是正例而不是反例吧！假设\(\tfrac{1}{n}>0\)，则设\(\tfrac{1}{n}=α>0\)，取ε=\(\tfrac{α}{2}>0\)，则恒有｜\(\tfrac{1}{n}-0｜=\tfrac{1}{n}\)\(=α>\tfrac{α}{2}=ε\)，这与\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)矛盾。所以\(\tfrac{1}{n}>0\)的假设不成立.所以(n→∞)时\(\tfrac{1}{n}=0\)

elim

先生不能面对反例就算了．\(\forall n\in\mathbb{N}^+, 1/n > 0\) 是定理不是假设．

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-15 14:09
先生不能面对反例就算了．\(\forall n\in\mathbb{N}^+, 1/n > 0\) 是定理不是假设．

在(\(k\nrightarrow ∞\))时，(\(\forall k∈\mathbb{N}^+\tfrac{1}{10^k}>0\))是定理。但当(k→∞)时，(\(\forall k∈\mathbb{N}^+\tfrac{1}{10^k}>0\))则是谬论。(参见本主题下105楼曲线走势)

elim

春风晚霞 发表于 2024-1-14 23:52
在(\(k\nrightarrow ∞\))时，(\(\forall k∈\mathbb{N}^+\tfrac{1}{10^k}>0\))是定理。但当(k→∞)时 ...

\(0\not\in\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}^+\}\) 很明确．是我会坚持的．
但趋于无穷的n不是一个定数,  所以 1/n 也不是定数．说它等于定数 0? ….  呵呵  

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-15 18:34
\(0\not\in\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}^+\}\) 很明确．是我会坚持的．
但趋于无穷的n不是一个定 ...

\(0∈\{\tfrac{1}{n}｜n∈\mathbb{N}\}\)这是事实(见本主题105楼贴图)，我也会坚持的.《数学分析》中无穷大是一个集合\(\{k|k>N_E\}\). 其中\(N_E\)是预先给定的无论怎样大的正整数.当n∈\(\{k|k>N_E\}\).时，亦称n→∞.所以无论n是集合\(\{k|k>N_E\}\)中哪个数，都有\(\tfrac{1}{n}=0\)！呵呵呵！！！

elim

春风晚霞 发表于 2024-1-15 05:34
\(0∈\{\tfrac{1}{n}｜n∈\mathbb{N}\}\)这是事实(见本主题105楼贴图)，我也会坚持的.《数学分析》中无 ...

你那个正整数集不满足皮亚诺公理．

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-15 22:25
你那个正整数集不满足皮亚诺公理．

因为对于预先给定的无论怎样大的正整数\(N_E\)，\(\mathbb{N}=\)\(\{k|k≤N_E\}\)\(\cup\{k|k>N_E\}\)，所以集合\(\{k|k>N_E\}\)仍满足皮亚诺公理。

elim

春风晚霞 发表于 2024-1-15 14:57
因为对于预先给定的无论怎样大的正整数\(N_E\)，\(\mathbb{N}=\)\(\{k|k≤N_E\}\)\(\cup\{k|k>N_E\}\) ...

设 \(W=\{n\in\mathbb{N}: 1/n = 0\}\), 若 \(W\ne\varnothing\), 那么 \(W\) 有最小元 w，按皮亚诺公理，
\(w\) 是某正整数\(n\)的后继即 \(w=n+1,\;1/n > 0\). 这是因为 \(w\) 的上述最小性。于是\(1/w = 1/(n+1)\ge 1/(2n)=\frac{1/n}{2} > 0\). w 的这个矛盾说明先生的 \(\mathbb{N}\)不满足皮亚诺公理。

先生的数学分析，好像受到了文革特色的唯物辩证非理性思潮影响。

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-16 07:06
设 \(W=\{n\in\mathbb{N}: 1/n = 0\}\), 若 \(W\ne\varnothing\), 那么 \(W\) 有最小元 w，按皮亚诺公 ...

elim先生：
       这算是一篇宿帖了，望您阅读，以便再批春风晚霞树靶准确。
      由于数列\(\{\tfrac{1}{n}\}\)收敛极为缓慢，所以我们借助曲线\(g(x)=\tfrac{1}{10^x}\)的走势定性分析一定存在点\(x_0=N_E\)，使得x≤\(x_0\)时，曲线\(g(x)=\tfrac{1}{10^x}\)在x轴上方，当x>\(x_0\)时，曲线\(g(x)=\tfrac{1}{10^x}\)与x轴重合。现在我们从理论上证明对于数列\(\{\tfrac{1}{10^n}\}\)这个\(n_α=N_E\) 也是存在的.
      【证明】：\(\because\;\forall i，j∈N\)，当\(i<j\)时，恒有\(\tfrac{1}{10^i}≥\tfrac{1}{10^j}≥0\)，所以数列\(\{\tfrac{1}{10^n}\}\)单调递减且有下界.所以数列\(\{\tfrac{1}{10^n}\}\)必有确界inf\(\{\tfrac{1}{10^n}\}=0\).于是我们把首次遇到确界inf\(\{\tfrac{1}{10^{n_{inf}}}\}=0\)的\(n_{inf}\)记为\(N_E\).
       于是有\(a_n=\begin{cases}
\tfrac{1}{10^n}\quad n∈\{k\;｜k≤N_E\}&(1)\\0\quad\;n∈\{k\;｜k>N_E\}&(2)
\end{cases}\)
       同理，对于数列\(\{\tfrac{1}{n}\}\)亦存在\(N_E\)使得\(a_n=\begin{cases}
\tfrac{1}{n}\quad n∈\{k\;｜k≤N_E\}&(1)\\0\quad\;n∈\{k\;｜k>N_E\}&(2)
\end{cases}\)
       至此，我们可轻松地证明以下集合等式成立;
       1、\(\{\;k\;｜\;k≤N_E，k∈N\}\cup\{\;k\;｜\;k>N_E，k∈N\}=\mathbb{N}\)
       2、\(\{\;\tfrac{1}{n}\;｜\;n≤N_E，k∈N\}\cap\{\;\tfrac{1}{n}\;｜\;n>N_E，k∈N\}=\Phi\)
       3、\(0∈\{\;\tfrac{1}{n}\;｜\;n∈\mathbb{N}，n>N_E\}\)