[注意]误差项对数学证明的重要性

qingjiao

论坛上经常见到许多网友滥用近似表达式，然后宣称自己证明了这个那个猜想，但遭反动学术权威刻意打压，使自己壮志难酬云云。
根据我的观察，此类抱怨99%以上是这些网友自己不懂数学，也不愿花点时间好好学习数学所致。他们宁愿大把大把地浪费时间在论坛上，声嘶力竭地呐喊，控诉和谴责所谓的社会不公和不义。这其实是中国人投机心理的典型反映。
前几个月我提示网友，利用Mertens定理3，如果忽略误差项，可以轻易地证明奥波曼猜想，而且不会超过1000个字。目的就是希望这些网友能从证明过程中得到某些启示，有能力检查自己的错误。结果无人响应，令人遗憾。
今天将这个证明写出来，并指出证明不成立的理由，这种无视误差项的存在和影响的所谓证明在哥猜或什么猜的爱好者中比比皆是，希望他们能好好反省自己。
1874年，梅腾斯证明了关于素数平均分布的三个定理。这三个定理如果忽略误差项的话都可以很简单地证明奥波曼猜想，但定理1要用到函数Λ(n),估计这些爱好者不懂也不愿意弄懂；定理2和定理3其实是一回事，这里以定理3为例：
Mertens定理3：∏(1-1/p)=e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，其中p为不大于x的全部素数，γ为欧拉常数。
如果忽略大O误差项，直接对等式两边取对数，得：ln(1-1/2)+ln(1-1/3)+....+ln(1-1/p)=-γ-lnlnx
即：ln(2-1)-ln2+ln(3-1)-ln3+...+ln(p-1)-lnp=-γ-lnlnx, (ln2-ln1)+(ln3-ln2)+...+(lnp-ln(p-1))=lnlnx+γ...(1)
每一个素数都对应于一个lnp-ln(p-1)项，根据调和级数公式：1+1/2+1/3+1/4+...+1/x=lnx+γ+1/2x+O(1/x^2), lnp-ln(p-1)≈1/p...(2)
按照原教旨的奥波曼猜想表述，设x=N*N，则：
(lnln(x+x^0.5)+γ)-(lnlnx+γ)=lnlnN(N+1)-lnln(N*N)=ln(lnN+ln(N+1))-ln(lnN+lnN)≈ln(2lnN+1/N)-ln(2lnN)=ln(1+1/(N*2lnN))，
其中1/(2N*lnN)是一个很小的正数。
利用幂级数展开式：ln(1+a)=a-a^/2+a^3/3-a^4/4+...，0<a<1, 并且只取主要的一次项得：ln(1+1/(N*2lnN))≈1/(2N*lnN)
换言之，当x由N*N增长到N*(N+1)时，(1)式右侧增长了约1/(2N*lnN)。那么，(1)式左侧也应增长，才能保证两边相等。而左侧的每一个增长都意味着新的素数出现，而且这些素数必定介于N*N和N*(N+1)之间。根据(2)式，每一个新素数带来的增长最大是1/N*N，最小1/N(N+1)。
由此区间[N*N,N*(N+1)]的素数上限为：
(1/(2N*lnN))/(1/N*(N+1))=N*(N+1)/(2N*lnN)≈(N+1)/(2*lnN);
下限为：(1/(2N*lnN)/(1/N*N)=N*N/(2NlnN)≈N/(2*lnN)。显然无论上下限都是随N增大而增大的函数，奥波曼猜想只要求下限>=1，这是很容易成立的，而且我们不仅得到了定性的结论，还得到了相当近似的定量结论，岂不妙哉？！
然而这个证明是不成立的，原因不在于证明过程中的近似和取舍，而在于一开始引用Mertens定理3时就出现错误，如图：
Mertens定理3中真正的误差项为r(x)，r(x)可以是类似r1(x)那样剧烈震荡而且振幅很大的函数，也可以是类似r2(x)那样比较平缓振幅较小的函数，或者其它乱七八糟的函数，这些我们都不知道，我们只知道一个很粗略的绝对值上限1/(lnx)^2。这样，当我们进行小区间内的减法时，实际上只能取其最坏的情形：
│O(1/(lnN*(N+1))^2)-O(1/(lnN*(N+1))^2)│≈2*(1/(lnN*N)^2)=1/(2*(lnN)^2)
这个目前理论上能被证明成立的差值是lnlnN*(N+1)-lnln(N*N)的许多倍：
[1/(2*(lnN)^2)]/[1/(2N*lnN)]=(2N*lnN)/(2*(lnN)^2)=N/lnN。
换言之，Mertens定理3所产生的误差范围已经远远超出了[N*N,N*(N+1)]区间内所有新素数带来的增长，因此除非能求出一个小得多的新误差函数，否则以上证明是不能成立的。
再次提醒数学爱好者注意：根据大O误差项的性质，一般来说可以对它进行绝对值的加法和积分运算，但不能随意进行减法或微分运算，这样的运算要么实际上只能取绝对值相加（减法），要么是没有意义的（微分）。数学爱好者们的许多错误都是由此引起的。例如Liudan先生对杰波夫猜想的所谓证明。

qingjiao

顺便指出：
Liudan先生自称是XX数学研究室的，还证明了N多的猜想，得出了比Li(x)更准确的S(x)，为何不用你的S(x)证明杰波夫猜想？这岂不是小菜一碟？
因此Liudan先生发这种低级错误的文章，要么是真的不懂，要么就是别有企图。
基于对Liudan先生学术水平的假设，我认为后一种可能性更大。至于是什么企图，那就只有他自己知道了。

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2010/11/11 11:11pm 第 1 次编辑]


原贴有些错误，但结论不变，更正如下：
对Mertens定理3两边取对数：∏(1-1/p)=e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，
右侧=ln[(1/lnx)*(e^-γ+o(1/lnx)]=ln(1/lnx)+ln(e^-γ+o(1/lnx))=-lnlnx-γ+g(x)
其中，e^(-γ+g(x))=e^-γ+o(1/lnx)，e^g(x)=1+o(1/lnx)/e^-γ
由于1/lnx-->0，g(x)是很小的数，利用展开式e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...x^n/n!+...
忽略二次以上高阶微小项，1+g(x)≈1+o(1/lnx)/e^-γ, g(x)≈o(1/lnx)/e^-γ,
根据大O项的定义，即：-e^γ/lnx≤g(x)≤e^γ/lnx
考虑最坏的情形，设x1=N*N，x2=N*(N+1)
│g(x2)-g(x1)│≈2*e^γ/ln(N*N)=e^γ/lnN
这个数值比区间[x1,x2]内所有可能的新素数带来的增长大许多倍:
(e^γ/lnN)/[1/(2N*lnN)]=2N*e^γ
换言之，g(x2)-g(x1)完全可以淹没lnlnx2-lnlnx1的任何变化，从而左侧不需要增加任何新的lnp-ln(p-1)项来填补。
因此区间[x1,x2]不能判断是否必有素数。

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2010/11/11 11:33pm 第 1 次编辑]


请白新岭，LLZ等网友仔细阅读。我对误差项和Liudan先生错误的论述到此为止，多说无益。

LLZ2008

下面引用由qingjiao在 2010/11/11 11:32pm 发表的内容：
请白新岭，LLZ等网友仔细阅读。我对误差项和Liudan先生错误的论述到此为止，多说无益。

我看到您写的这些，就发晕。大0项也好，级数也好，我不知道您是否真的搞清楚了这些东西，还是拉大旗作虎皮。我的分析，何时用过您说的这些东西。我在几个近似表达式中，对引理的证明，用了素数定理，欧拉结论，如果这两个东西不正确，我证明的引理就是错误的，您不针对我的证明就事论事，指出我的证明那步有问题，我们进行讨论，这样谈，有作用吗？您是干什么的，是哥猜研究者吗，还是审稿的权威者，亮出身份来。我是一个高中数学教师，我在我的文章前面写得明明白白。

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2010/11/12 10:16am 第 1 次编辑]


LLZ先生稍安毋躁。佛说，只渡有缘人。不愿看或看不懂，那是无缘了。
我的身份很重要吗？不要说你是教师，哪怕是教授，大数学家，也不能保证你的证明一定正确。你若要追问我的身份，记得wangyangkee说过，“qingjiao是数学爱好者常见错误的爱好者"，呵呵~
对那些有缘的网友，我再说两句：目前在数论上已知的成果，多数是关于大区间和平均值的成果；而未解决的问题，多数是小区间和瞬时值的问题。企图应用大区间和平均值的成果来解决小区间和瞬时值的问题，多数不会成功。
Mertens定理如用在大区间是可以的，例如可以证明x~2x必有素数。但用在奥波曼，杰波夫那样的小区间就不行。原因主贴已经说了，误差项太大（相对于要解决的问题，但绝对值可以趋向0，如Mertens定理3），除非你能首先缩小误差。

LLZ2008

下面引用由qingjiao在 2010/11/12 10:14am 发表的内容：
LLZ先生稍安毋躁。佛说，只渡有缘人。不愿看或看不懂，那是无缘了。<BR>我的身份很重要吗？不要说你是教师，哪怕是教授，大数学家，也不能保证你的证明一定正确。你若要追问我的身份，记得wangyangkee说过，“qi ...

人各有所好，无可厚非。您如果对我贴出的文章，指点打点的进行分析，指点，争辩，我非常欢迎。但您没有这样做。而是东一榔头西一棒子，这样，还不过瘾，指名道姓地叫上门来，如果是指出我的证明的不足之处，错误地方，我当视为良师益友，求教于您。您贴出的您认为的圣经，您念清楚了吗？我相信在您的圣经的召唤下，有不少的有缘人归到您的麾下，成佛成仙。祝贺您，世间的救世主.

LLZ2008

“Mertens定理3：∏(1-1/p)=e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，其中p为不大于x的全部素数，γ为欧拉常数。”
    qingjiao 先生，如果您的经确实念得好的话，这个定理与我在“几个近似表达式”一文中的引理是一回事，但没有我的引理管用。因为该定理当x→∞时，还背着个大0包袱。针对数论的具体问题，大家是不是该多想想如何卸掉用级数方法分析带来的这个让人头疼的大0包袱。qingjiao 先生，您说呢！
    什么叫佛，佛在每个人自己心中，若不如此，佛经就变成束缚人们手脚的教条了。
    我想到那里就说到那里，若有不是之处，望多包涵，谢谢qingjiao 先生对我的激励！

trx

数学论理的首要准则是：逻辑严谨，数据精密！！！！
请  qingjiao 不要发如此荒唐贴！！！！  

ysr

没看懂楼主的，其他各位朋友说的有道理，我们都是务实求真的，自己认为文章逻辑严密才贴上来的