[原创]反思，让数学学习更精彩

刘永

LBSALE[200]LBSALE[watermark]反思，让数学学习更精彩
                       ————培养学生解题后反思能力的探索
著名数学家波利亚在《怎样解题》中对数学解题划分为四个阶段：弄清问题——〉拟定计划——〉实现计划——〉回顾，其中“回顾”就是解题后的反思，它是解题思维过程中的深化和提高。解题过程的反思，实际是解题学习的信息反馈调控阶段，通过反思，有利于学生深层次的建构。新的数学教育理念认为：数学是过程，是活动，学数学就是做数学，就是去解决一个问题，获得一种体验。数学知识的学习和能力的培养很多都是通过解题过程来体现的。解题是教学过程中的重要一环，通过解题可以让学生巩固基础知识，掌握数学思想和方法。但一些同学为完成老师布置的任务，在题海里做题，只顾找题目做，而不去针对每一个题目探究解题规律，重视解题的反思。在数学学习中注重解题的反思，是训练学生创造性思维，优化思维品质的极好方法。通过反思能促使学生从不同方面多角度观察事物并寻求不同思路，达到在学习中质疑问题，这样有利于学生创新思维的培养，创新能力的形成，从而提高学生发现问题和解决问题的能力。
1、对自己的思考过程进行反思；对解题方法、推理过程、运算过程和语言表达进行反思；
教师应该帮助学生整理思维过程，确定解题关键，引导学生回顾和整理解思路，概括解题思想，使解题的过程清晰、思维条理化、精确化和概括化。学生在解题时往往满足于做出题目，而对自己的解题方法的优劣却从来不加评价，作业中经常出现解题过程单一、思路狭窄、解法陈旧、逻辑混乱、叙述冗长、主次不分等不足，这是学生思维过程缺乏灵活性、批判性的表现，也是学生的思维创造性水平不高的表现。因此，反思解题方法的优劣，便可以优化解题过程。学生在解题时往往满足于做出题目的答案，而对自己的解题方法的优劣却几乎不加以评价，作业中经常出现思路狭窄、方法单一死板等不足，这是学生思维缺少灵活性、批判性的表现。朝着多开端、灵活、精细的方向发展，以促使学生形成一个系统性强、着眼于相互联系的数学认知结构。
2、对涉及的知识进行反思；
积极反思、系统小结，使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理化，在解题中应用自如，有的放矢。不少同学做题，易犯就事论事，就题论题，"铁路巡警，各管一段"的毛病，掌握的知识支离破碎，脑海一片空白。例如垂径定理应用和训练
如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
　　分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm．此时解Rt△AOE即可
　　解：连结OA，作OE⊥AB于E．则AE=EB．　∵AB=8cm，∴AE=4cm．
　又∵OE=3cm，
　在Rt△AOE中，　 (cm)．　∴⊙O的半径为5 cm．
　　说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
　　关系：r = h+d；　r2 = d2 + (a/2)2
　 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）
     说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．
　　练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流．
　　指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
　　反思
　知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．
　　方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．
3、对涉及的思想方法进行反思；
解题是学好数学的必由之路，但是不同的解题指导思想会有不同的解题效果。养成对自己的解题过程进行反思的习惯是具有正确的解题思想的体现。例如：分类讨论的思想最初见于有理数概念的引入，并在以后各章节内容中不断加强这种思想。如绝对值性质的讨论，二次根式的化简，一元二次方程根的情况，三角形的分类，四边形的分类等等。尤其是到了初三《圆》这一章，渗透分类讨论思想的内容就更丰富。具体体现在以下几个方面：许多概念都涉及到分类的思想，如点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系；在定理中强化分类意识，如圆周角与弦切角定理的证明；此外，课本安排了不少分类讨论的习题，通过对具体问题的解决，培养学生的分类意识与方法。实际上，在圆这部分知识中，由于圆是轴对称图形，有关圆的计算题，都不得必须根据对称性进行分类求解。因此，在教学过程中，应充分结合这些知识，渗透分类的思想，明白分类的必要性，明白分类的标准必须相同，分类的原则应不重复、不遗漏。
4、对问题的理解进行反思，对有联系的问题进行反思；
解题后，对数学问题由此及彼地联想，其中，有时要对问题追根溯源，多问几个“为什么”？有时是从一个问题联想到与它形式不同但实质完全一样的多种叙述或表达方式，这样，就能培养我们抓住问题实质的本领，培养思维的连动性、流畅性和变通性。解题后对问题本质进行重新分析，在将思维由个别推向一般的过程中使问题深化，使问题的抽象程度不断提高。例如，在上“长方体物体包装设计”时，通过让学生自主设计一个体积是24立方厘米的长方体包装盒，汇报种种情况，再变动数据，再次设计。最后引导学生反思：“如何设计，包装盒所需的材料会更省些？”学生通过观察、联想，从中寻找内在联系，发现长、宽、高越接近，所需的材料就越省。这样的反思，可使学生思维的抽象程度提高，这比解决出结果意义更加重要。
解决问题以后再重新剖析其实质，可以是学生比较容易地抓住问题的实质，在解决一个或几个问题之后，启发学生反思，从中寻找到它们之间的内在联系，探索一般规律，可使问题逐渐深化，还可使学生的思维对抽象程度提高。例如在教学完“点到垂线”的知识之后，可以让学生回忆运动会上进行田赛的场景，反思与“点到垂线”的知识有什么联系。经过反思的效果是学生发现：田赛所有项目最后的成绩的得出都在用“点到垂线”的知识。使学生明白数学来源与生活，又可以来解决生活中的问题，知道“数学可以帮助学生更好的适应日常生活、理解周围世界”（《国家数学课程标准》）。当我们学菱形的知识后，知道菱形有四个全等的直角三角形所组成，所以它的面积S=初中数学教与学2005年第四期29页（从菱形的面积到对角线互相垂直的四边形的面积）
小结：解题后如果我们坚持进行“一问多思”，这样我们就能抓住数学问题的本质，学数学就不难了。
5、对结论进行反思。
学生往往在学习基础知识时不求甚解、粗心大意，满足于一知半解，这是造成作业错误的重要原因，在解题完之后，学生往往忽视对结论的反思，出现结果不符合实际，数据出错等现象，特别是一些“隐性错误”发生频率更高。因此教师应当结合学生作业中出现的错误设计教学情境，帮助学生从基本概念、基础知识的角度来剖析作业错误的原因，给学生提供一个对基础知识、基本概念重新理解的机会，使学生在纠正作业错误的过程中掌握基础知识，理解基本概念的本质，指导学生自觉地检验结果，培养他们的反思能力。到这里，学生的思路就一下子打开了，纷纷说出解决的办法，通过质疑问难，培养了学生解决问题的能力和的应用意识，反思的作用就显而易见了。
因此，为了提高数学学习效率，必须使学生有时间、有机会对自己的思维活动进行反思，对自己是怎样发现问题和解决问题的、应用了哪些基本的思考方法、技能和技巧、走过哪些弯路、从中获得哪些经验教训进行认真的剖析，逐渐培养随时监控自己的数学思维活动的习惯。
课堂教学中，教师要经常引导学生反思自己的认知过程，把自己正在进行的认知活动作为意识的对象，不断地、积极地对其实施监视，控制和调剂，并逐步使这种反思成为学生自觉的学习习惯，从中体验和认识有关学习的策略和方法，使学生乐思、巧思、善思，真正成为学习的主人。[DISABLELBCODE][USECHGFONTE][/watermark]