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[watermark] 任意正整数N中素数个数的上下界(纯初等数学讨论)
这里讨论素数个数的上下界,完全与素数定理等概念无任何联系,纯粹是在有限数范围内用初等方式进行推理,其中的概念,与以往的概念划清界限,并明确区分有穷与无穷之间的本质区别,避免混淆概念的推理过程,用极易理解和通俗的方式进行推导。
在上文“素数含量表达式”中,有ω=(P-1)(!)/P(!),P→∞
这个公式相当于连乘积 ω= ∏(1-P),P→∞。(这个结论在无穷范围是正确的)
在讨论利用这个表达式计算N中素数个数的时候,有误差出现,其原因在于:有穷数的计算,与 ω=(P-1)(!)/P(!),P→∞;表达式是有本质区别的,不能直接套用。
那么,有无正确的计算公式或较精确的取值上下界?答案是肯定的。
在讨论中,我曾经给出一个比值:
∏(1-1/P_n)
——————
(N-1)!/N! (N=n),并按照经典的推理来可以得出该式当N=n→∞时趋向于∞ 。
事实上,这种结论是不成立的。原因这里暂时不予赘述,因为这涉及数学现有基本概念问题。
这个表达式,似乎很简单无误,实际上,由于下标的出现,分子分母各自的具体含义和其他表达式的区别是非常清楚的。在有穷范围内,这个表达式不断趋向素数实际个数π(N),而且是π(N)利用N*ω计算的粗略的下界,既不可能趋向无穷大,也不可能趋向无穷小,最终趋向π(N)。
那么,有无更精确的上下界?
第一个上界:
我已经给出的第一个公式——计算素数数量的必要条件N*ω_P就是一个上界。其中,P≤√N,在艾拉托塞尼筛法中,似乎这样的表示方式就是直接的艾氏筛法,但是事实上,其中由于使用了除法,使得实际的计算并不确切的体现实际的筛除合数的过程。这是因为,已经筛除过的素数逐渐参与了被除的过程,而连续合数的存在,又使N序列中的合数出现没有规则的间隔,使得存在一对k,l;有(N-k)—(N-l)
有P≥l-k≥3个连续合数存在。所以,在N数值增大的过程中,未被筛除的合数逐渐增多,出现筛除值N*ω_N误差加大。只能成为一个粗略的上界。那么,怎样解决这个矛盾?筛除掉多余的合数?
先考虑这个筛法的下界。
实际上观察重复筛除过程,当筛到充分大的P,P≤√N 时,有P个已筛除后的素数参与了筛除过程,加大了分子的数量,相当于漏筛了P(!)之后的m个连续合数,这就是我给出的计算N*ω_P+m 需要加上充分条件(+m)的理论根据。
那么,如果调整N*ω_P中P的取值范围,是否可以找到下界?
设P_i为≤N的素数,并且最接近于N,用P_i~N来表示,那么,当N=P^2时,P_i~P^2。由于N*ω_(P_i)将删除 P_i≤N 中所有的合数并且是过分的筛除合数,所以,N*ω_(P_i)≤π(N),是一个π(N)的下界。
设P_1为P的后继素数,P_2为P_1的后继素数,P_i为P_(i-1)的后继素数,则有:
P(!)﹤P_1(!)﹤P_2(!)﹤……﹤P_i-1(!)﹤P_i(!)
或者∏P﹤∏P_1﹤∏P_2﹤……﹤∏P_(i-1)﹤∏P_i;
因此有
ω_P﹥ω_(P_1)﹥ω_(P_2)﹥……﹥ω_(P_i-1)﹥ω_(P_i)
或者∏(1-1/P)﹥∏(1-1/P_1)﹥∏(1-1/P_2)……﹥∏(1-P_(i-1))﹥∏(1-1/P_i)
而ω_P-ω_(P_1)=(P-1)(!)/P_1(!)或∏(P-1)/P_1)(P_1是P的后继素数)
ω_(P_1)-ω_(P_2)=(P_1-1)(!)/P_2(!) 或……
…………
ω_(P_i-1)-ωP_i=((P_i-1)-1)(!)/P_i(!)或……
所以:ω_P-ω_(P_i)=
P_i
= ∑ ∏(P_i-1)/(P_(i+1))
P
=ω_m(设为ω_m)
而 P_i
∑ ∏(P_i-1)/(P_(i+1)=ω_m
P
将随着N的增大, 逐渐趋向于0, 也就是ω_P-ω_(P_i)→0, 本分析说明ω_(P_i)是π(N)的更精确的下界。
同理可证
P_N
∑ ∏(P_(N-2))/(P_N)→0 (N→∞),
P
但是这是较粗略的下限.
结论:N*ω_P和N*ω_(P_i)是π(N)的上下界, N*ω_P≥ π(N)≥ N*ω_(P_i)
(P≤√N;P_i≤且~N)
且N*ω_P-m可以正确修正误差, 误差值m=N*ω_m 或 m≥P 且 (P~√N).
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