四边形 ABCD 对角线交于 O ，AE=AC，∠BAC=∠BCE，OB=OD，∠CAD=2∠ACD，求证 OA=2OC

shuxuestar

  要有人真的九等分了圆，可堪与数学王子高斯媲美，那不得瑟死了，不满世界都知道了。

这大好的机会展示，在下怎麼没有看到呢？

shuxuestar

  除非你比高斯牛逼还比高斯更谦虚！

denglongshan

验证后，三次方程只有r=-2符合题意

王守恩

\(好题！简单！ACD是一个等腰直角三角形。记CO=1\ \ ∠CAD=2a\ \ ∠CAB=2b\ \ ∠COB=c\)

\(解方程：\frac{OA\sin(2a)}{\sin(c+2a)}=\frac{\sin(a)}{\sin(c-a)}=\frac{\cos(b)}{\cos(c+b)},
\frac{\sin(a)\sin(2a)\cos(3b)}{\cos(b)]\sin(2b)\sin(3a)}=\frac{\cos(a)\sin(2b)\cos(c+b)\sin(c+2a)}{\cos(b)\sin(2a)\sin(c-a)\sin(c-2b)}=1\)

\(OA=2,\ \  a=\pi/4,\ \ 兼得BE=2,\ AD=3,\ BC=\sqrt{10},\ BO=OD=\sqrt{13},\ CD=\sqrt{18}\)
Solve[{((OA) Sin[2 a])/Sin[c + 2 a] == Sin[a]/Sin[c - a] == Cos[ b]/Cos[c + b],
(Sin[a] Sin[2 a] Cos[3 b])/(Cos[ b] Sin[2 b] Sin[3 a]) ==
( Cos[a] Sin[2 b] Cos[c + b] Sin[c + 2 a])/(Cos[ b] Sin[2 a] Sin[c - a] Sin[c - 2 b]) == 1,
\[Pi]/2 > a > 0, \[Pi]/2 > b > 0, \[Pi] > c > 0, OA > 0}, {OA, a, b, c}] // FullSimplify
{{OA -> 2, a -> \[Pi]/4, b -> -2 ArcTan[3 - Sqrt[10]],  c -> 2 ArcTan[1/3 (-2 + Sqrt[13])]}}

王守恩

王守恩 发表于 2021-12-1 06:15
\(好题！简单！ACD是一个等腰直角三角形。记CO=1\ \ ∠CAD=2a\ \ ∠CAB=2b\ \ ∠COB=c\)

\(解方程：\fra ...

\(好题！简单！ACD是一个等腰直角三角形。\)

\(ACD就是一个等腰直角三角形！ACD还可以画成不是等腰直角三角形的吗？！\)

uk702

邓老师的构造法解题是个好东西。本题使用构造法，大概可以按以下程序进行：
1. 任意作等腰三角形△AEC，并记∠EAC=a°；
2. 以C为中心将射线CE旋转a°，和 AE 相交于B；
3. 记 O’ 为 AC 上的动点，作 B 关于 O' 的对称点 D';
若 D' 满足∠CAD' = 2∠ACD' ，则这时的 D' 是所求的 D，对应的 O 是所求的 O'.

第 3 步有些困难，但若命题成立，OA=2OC，则显然有 O=(2C+A)/3。

王守恩

\(1楼的图：四边形 ABCD 对角线交于 O ，AE=AC，∠BAC=∠BCE，\)

\(∠CAD=2∠ACD，OB=OD，OA=2OC，求证 ∠CAD=90^\circ\)

证：\(记OC=1\ \ \ OA=2\ \ \  ∠CAD=2a\ \ \ ∠BAC=2b\ \ \ ∠COB=c\)

\(解方程：\frac{\sin(a)}{\sin(c-a)}=\frac{\cos(b)}{\cos(c+b)}=\frac{2\sin(2a)}{\sin(c+2a)},
\frac{\cos(a)\sin(2b)\cos(c+b)\sin(c+2a)}{\cos(b)\sin(2a)\sin(c-a)\sin(c-2b)}=1\)

Solve[{Sin[a]/Sin[c - a] == Cos[ b]/Cos[c + b] == (2 Sin[2 a])/Sin[c + 2 a],
(Cos[a] Sin[2 b] Cos[c + b] Sin[c + 2 a])/(Cos[ b] Sin[2 a] Sin[c - a] Sin[c - 2 b]) == 1,
\[Pi]/2 > a > 0, \[Pi]/2 > b > 0, \[Pi] > c > 0}, {a, b, c}] // FullSimplify
{{a -> \[Pi]/4, b -> -2 ArcTan[3 - Sqrt[10]], c -> 2 ArcTan[1/3 (-2 + Sqrt[13])]}}