四色猜想与五构形

波斯猫猫

                                                  投稿时间：2016-02-28 10:00 投稿人：陈陶
                                                                    四色猜想与五构形

摘要：作者另辟蹊径，采用独特的研究方法，利用肯普定理、第二数学归纳法等，研习了四色猜想。

关键词：四色猜想；肯普定理；着色模式H；五构形定理；第二数学归纳法

一 四色猜想

每一幅正规地图，至多需要四种色，使相邻（有共同边界）的国家能着不同色。限制是：每个国家必须连成一片；两个国家的共同边界必须是条线，而不能是一点或一些孤立的点；没有一个国家包围其它国家，也没有三个以上的国家相遇一点。

二 背景简介

对每一幅正规地图的四着色，1976年，美国专家借助计算机证明了四色猜想。关于用数学方法的证明，从1852年问世至今未彻底解决，它与费尔马大定理和哥德巴赫猜想一起，成为了世界近代三大数学难题。1879年，肯普发表关于四色猜想的论文被赫伍德指出有无法弥补的漏洞，但他的研究思想方法却闪耀着智慧的光辉，在“四色”历史长河中影响深远。160多年来，用传统方法或一些新方法进行了大规模地深入研究，可进展十分有限。在国内外，研究四色猜想持续进行，力图破解，甚至有的不惜把一生都奉献于此。总之，迄今为止，世界上还没有得到国际数学界普遍承认用数学方法的证明，根本问题恐怕是理念与切入点不到位。如今，用数学方法揭开了四色之谜。

三 定理 公理 五构形定理

肯普定理：在每一幅正规地图中，至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每一国都有六个或更多个邻国的正规地图（用欧拉公式可证）。

定义：把每一国的邻国数都不小于五（含五）的正规地图称为五构形。

在五构形中，若Q国被m（m≥5）个邻国围成圈H，则包围圈H的“圈”S中的国家数r≥m，且Q的邻国的每一国至少与S中的两国相邻（否则，Q的邻国中必有邻国数小于五的国家）。与此有关，所设置的公理（大家公认或者可接受的简明的道理）考虑到了关键部位能着色也能换色。

公理：欲至多用四种色使五构形的相邻国着不同色，考虑先确定的“中心国”Q（Q与P相邻，P有五个邻国）可看成由2t个（t≥2，若 Q的邻国数是奇数，总可以把Q的邻国中相邻的两国视为一国）邻国形成的圈H包围，就可用两种色对H相间着色，且仅当需要换色时才有可能用第三种色。把这种关于中心国Q的邻国着色的模式记为H-色码排序，简称为（着色模式）H（公理仅规范了中心国的邻国着色，其它圈上国家的着色未必符合此规律。H用色还具有简约性，优化了后继着色环境。1、2、3、4为色码，不会混淆）。

五构形定理：对任意五构形四色猜想成立。

证：在类似图二1的五构形中，中心国‘2’的邻国数能是数列6、7、8、…、n、…☆中的项；‘2’的邻国外圈的国家数也能是☆中的项，第四圈只有一国，就得到国家数是数列14,16,18, …, 2n , …中的项；将得到的国家数相对应的图中的‘2’恰当地一分为二（因☆中的项都不小于六，分成的两国能满足五构形），又得到国家数是数列15,17,19，…，2n+1,…中的项。将12与后两个数列合并就得到了国家数的集合｛12,14,15,16,…,n,…｝（这里仅确定了五构形的国家数，并不表明结构一定如此，即使国家数相同，结构也未必唯一。如n=14的情形）。易验证13不是该集合的元素。

若国家数n=12，则每一国的邻国数都是五，如图一（其它结构可转化为此）。Q-4，即Q着色〔是〕4，四色猜想成立（可按下面⑴的方法处理）。

⑴当n=14时，如图二，每圈的国家数由内到外分别依次为1、6、6、1，1、5、6、2或1、5、‘7’、1。取Q（Q的邻国中有一国的邻国数是五）为中心，先将Q的邻国中A和B视为国E，根据公理，构建Q的模式H-1212，不妨图二1中E-1，图二2、3中E-2；其次，Q-4，至多用四种色沿着H向外围的国家逐个着色。四色猜想成立。把图二中B换成色3，其它国家着色不变，则Q的邻国着色符合H-12123，且四色猜想成立（基于前述，如图二1，可视‘2’为中心，构建H-434343，换色后为H-434341。还可视有六个邻国的国家为中心，换色前后的H与此皆对应同型。但要仔细察看图二2、3，它们各有两个国家可作中心国）。

⑵假设14≤n≤k，即国家数不超过k时，都是按类似⑴的方法和步骤操作，结果（含换色前〔国家数n满足13≤n≤k－i，1≤i≤k－13〕和换色后）对确定的中心国Q的邻国着色不仅符合公理的着色模式H，且四色猜想都成立。

那么，当n=k+1时，必存在两邻国P和Q，使P的邻国数是五、Q的邻国数不小于五，且P和Q及其邻国的结构关系如图三、图四。①，若Q的邻国数是不小于五的奇数，如图三，将A、P、B视为国E（根据归纳假设，对可能产生邻国数小于五的国家是允许的。以下同此），则国家数是k–1，且Q的邻国数是不小于“四”的偶数。根据公理，构建中心国Q的模式H-12…12（型），不妨E-1。根据归纳假设（换色前），四色猜想成立，且D-2或3或4（易逐一验证），不妨D-3，也不妨Q-3。将P换成色4，其它国家着色不变，则Q的邻国着色符合H-12…124，且四色猜想成立（国家数是k+1）。②，若Q的邻国数是不小于六的偶数，如图四，将A、P、B视为国E，则国家数是k－1，且Q的邻国数是不小于“四”的偶数。根据公理，构建中心国Q的模式H-12…12（型），不妨E-2。根据归纳假设（换色前），四色猜想成立，且F与G的着色组合是1、3或1、4或3、4（易逐一验证），不妨F-3、G-4，也不妨Q-3。将P换成色1，其它国家着色不变，则Q的邻国着色符合H-12…1212，且四色猜想成立（国家数是k+1）。即是说，当n＝k+1时，四色猜想也成立。证毕。

四 证明四色猜想

证：众所周知，对每一幅正规地图，要使相邻的国家着不同色，四种色是必需的。

⑴当1≤n≤14时，易证明四色猜想成立（略。前人至少对n≤22已证）。

⑵假设14≤n≤k时，四色猜想都成立。

那么，当n=k+1时，根据肯普定理，分四种情形：

ⅰ有一国具有两个邻国

令C具有两个邻国，如图五，将相邻的C与A两国视为国E，则国家数是k。根据归纳假设，四色猜想成立。因E与B两国只用了两种色着色，且C被A和B包围，故C能换成第三种色或第四种色（其它国家的着色不变。以下同此）。这时，四色猜想也成立。

ⅱ有一国具有三个邻国

令C具有三个邻国，如图六，将相邻的C与A两国视为国E，则国家数是k。根据归纳假设，四色猜想成立。因E、B、D三国只用了三种色着色，且C被A、B和D包围，故C能换成第四种色。这时，四色猜想也成立。

iii有一国具有四个邻国

令C具有四个邻国，如图七，将A、D和C（A、D不相邻，但它们与C相邻）三国视为国E，则国家数是k－1。根据归纳假设，四色猜想成立。因E、B、F三国用了两种色或三种色着色（B和F可能同色，也可能不同色），且C被A、B、D和F包围，故C至少能换成第四种色。这时，四色猜想也成立。

iv有一国具有五个邻国

此情形是五构形，对此，五构形定理对国家数为不小于14的自然数已证明了四色猜想成立，故n=k+1时四色猜想也成立。

综上所述，国家数为正自然数的每一幅正规地图，四色猜想都成立（四川省岳池县白庙职中 陈 陶）。

参考文献：

1《数学是什么》，R·柯朗著（美）。四色问题，五色定理。

2《四色问题和五色定理》。1979年，杨忠道（美国宾夕法尼亚大学）在复旦大学就五色定理的证明（第二数学归纳法）对数学系学生作的报告。

附图：见出师表大叔新浪博客

  












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