着色与证明猜测时要谨防掉入陷阱

雷明85639720

着色与证明猜测时要谨防掉入陷阱
雷  明
（二○一六年二月二日）

    1、不同的分类原则和方法，得到了不同的不可免构形集
不同的分类原则和方法，必然会得到不同的不可免构形集，但都可以对集中的不可免构形进行4—着色，即其都是可约的。
如张彧典先生的分类原则是“有没有交叉链”，有是H—构形，没有就是非H—构形，即K—构形；而在H—构形中又以“颠倒的次数”来划分。所以张先生把他的第一，第三到第七共六个构形划为一类，把第二和第八划为一类，把第九的M—构形单独划为一类，共三类。
雷明先生的分类原则是“能不能同时移去两个同色”，若能同时移去两个同色就是非H—构形，即K—构形，否则才是H—形；而在H—构形中又以解决问题的不同方法来划分。这样雷先生就把以“九点形”为代表的赫渥特图一类构形（H—构形）划为一类，其解决问题的独特方法是交换含有两个同色的邻角链（如在赫渥特图中交换的是A—B链），使得图中原有的交叉链“断链”，使构形变成非H—构形（即K—构形）。这里的“邻角链”是指由5—轮轮沿五边形的“相邻角”的颜色组成的色链；又把以米勒的M—构形为代表的一类构形划为一类，其解决问题的独特方法是交换不含两个同色的邻角链（如在米勒图中交换的是C—D链），也使得图中原有的交叉链“断链”， 使构形变成非H—构形（即K—构形）。从这里H—构形与M—构形的交换可以看出，交换对角链（不连通的）是为了空出颜色给待着色顶点着的，而交换邻角链则是为了给交换对角链空出颜色创造条件的。最后，第三就是把以张彧典先生的Z—构形（第八构形）为代表的一类构形划为一类，其解决问题的独特方法是交换两个同色色链之一，这就是张先生的“赫渥特颠倒”。
我划分的三种不可免H—构形中，H—构形和M—构形不但有他们各自的独特解决方法，而且还可以与Z—构形一样，也可以用“颠倒法”解决。也正是因为他们也可以用颠倒法解决，所以我才在这里提醒大家吸取赫渥特的教训，以防再次掉入陷阱。
两种不可免的H—构形集中同样都是只有三个元素，但其中的构形却不太相同，但都包括了赫渥特图和米勒图。还有一种构形，也是含有两条相交叉的链，这两条相交叉的链均含有两个同色顶点，即B—C链和B—D链相交叉。这种构形也是可以同时移去两个同色的，我也把他归入非H—构形（即K—构形）一类，不知按张先生的划分原则和方法，把它该归入那一类呢。
2、防止走入无限循环的陷阱之中
我已多次说过赫渥特只所以对他的图不能4—着色，可能是他陷入了不能同时移去两个同色的H—构形与可以同时移去两个同色的半H—构形的相互转化的无限循环之中去了。由赫渥特图简化而来的“九点形”图是一个左右对称的图，无论是逆时针颠倒，还是顺时针颠倒，颠倒后的图都是一个半H—构形的图，这个半H—构形的图是可以同时移去两个同色的，方法就是继续对这个半H—构形施行同方向的颠倒，就可以同时移去两个同色。颠倒的方向不能发生变化，因为这次施行颠倒的方向与由H—构形得到半H—构形时施行颠倒的方向不同时，实际上图又会返回到原来的H—构形。如此不断的交换，就行成了恶性的无限循环，永远也走不出来。但是在一百多年以前，赫渥特和坎泊可能都还是不了解这两个构形是可以相互转化这一事实的，甚至他们连“九点形”和所谓的半H—构形都是不可能知道的。所以也就不可能从陷阱里走出来。当然也就不可能给赫渥特图进行4—着色了。
我们通过对米勒图的研究，也发现在M—构形的米勒图与H—构形的赫渥特图之间，两个构形也是可以相互转化的。比如，赫渥特图中有一条不含两个同色的邻角链是环形链，把另一对含两个同色的邻角链分成了环内环外互不相通的两部分。而对米勒构形施行一次颠倒后，图中也有一条不含两个同色的邻角链是环形链，把另一对含两个同色的邻角链分成了环内环外互不相通的两部分。由于米勒图是一个有五个对称轴的图，所以对其无论是施行那个方向的颠倒，得到的图都是一个H—构形的图。米勒图中含有两个同色的邻角链有两条，一条是环形的，一条是直链；另外不含两个同色的邻角链也有两条，也是一条是环形的，一条是直链（不仅如此，我们还发现，米勒图的扩大图（张彧典先生的《四色问题探秘》一书中有此图）中含有两个同色的邻角链是由多个环嵌套在一起的，只有一条与其不相通的直链，且二者是被不含两个同色的邻角环形链分成了两个互不连通的部分的；而不含两个同色的邻角链则是只有一条是环形的，其他都是互不相通的直链，且分布在嵌套的含有两个同色的邻角链的每一个套环之内。）。当把由米勒图经过施行颠倒而得到的H—构形的图再施行任一方向的颠倒后，得到的图也有以上米勒图的链的特点。即含有两个同色的邻角链和不含两个同色的邻角链各都只有两条，也都各是一条环形的，一条是直链。且环形链都把其相反链分隔成环内环外互不相通的两部分，是一个地道的M—构形（相反链是两条没有相同的颜色的链，可见含有两个同色的邻角链与不含两个同色的邻角链是互为相反链的。）。
米勒和张彧典先生只所以认为对米勒图连续施行颠倒时，出现了循环，就是因为他们还没有看到对其施行了颠倒后的图就是一个H—构形的图，再继续施行颠倒后又变成一个M—构形的图，而没有去按该两个构形的单独解决办法去解决，只看到图中一直都含有两条相交叉的链，只有施行“颠倒”了。这样就产生了无限的循环。因此，米勒对他们企图用这样的“赫渥特颠倒”来解决四色问题的想法产生了怀凝，不再研究下去，没有走出这个陷阱；而张彧典先生则不退却，而是想办法跳出了这个陷阱。他看到四个循环图中都有环形的A—B链（在米勒图中A—B环形链就是含有两个同色的邻角链，而在由米勒图通过颠倒变化而来的H—构形中，A—B环形链则是不含两个同色的邻角链），把C—D链（在米勒图中C—D链则是不含两个同色的邻角链，而在由米勒图通过颠倒变化而来的H—构形中，C—D链则是含有两个同色的邻角链）分隔在环内环外，他只交换了环外的一条C—D直链（其实交换环内的C—D环链也是可以的。在米勒图中交换的是不含两个同色的邻角链，而在由米勒图通过颠倒变化而来的H—构形中，交换的则是含有两个同色的邻角链），都能使图变成不含相交叉链的图，即K—构形的图，证明了米勒图是可以4—着色的。张先生走在了米勒的前面，也是走在了研究四色问题的人的最前面。
3、H—构形与M—构形的单独着色方法
H—构形的图中，有一条不含两个同色的邻角链是环形的，分含有两个同色的邻角链为互不相通的两部分，交换任一部分都是可使图变成K—构形，使问题到解决。而在M—构形的图中，有一条含有两个同色的邻角链是环形的，也分不含两个同色的邻角链为互不相通的两部分，交换任一部分也都可以使图变成K—构形，从而使问题得到解决。
4、Z—构形的单独着色方法
Z—构形的图，不具备H—构形和M—构形所具有的环形链。不能对邻角链进行交换，也不能对不含两个同色的相邻链（对角链）进行交换（所谓相邻链是指两条链中有一种颜色是相同的链）；六种链已有四种不能交换，而含有两个同色的对角链也不能同时交换，那么就只能对其中的一条进行交换了，这一交换的实质就是在施行赫渥特“颠倒”。Z—构形的图无论在施行了那个方向的颠倒后，所得到的图不是半H—构形就是H—构形，实现了构形的转化。半H—构形可以同时移去两个同色，H—构形也有单独的解决办法，所以Z—构形也是可以四着色的。
张彧典先生的第八构形的确是一个了不起的构形，不过他的构形不是最简的，也不是左右对称的图。有了他才能说明平面图5—轮构形中的H—构形的不可免集有了头，即有了界限。该构形中的六种链有四种根本就不能交换（即两条相邻的对角链和两条相反的邻角链），剩下的两种（即含两个同色的相邻的对角链）又不能同时交换，而只能交换其一（该构形中六种链的相互关系又是最复杂的。）。再不可能有连一条链也不可交换的构形了（若有这样的构形存在，当然四色猜测就是不正确的了）。就是这最后一条可交换的链的交换，使构形发生了质的变化，构形的类型变了。变成了可约的构形了，当然该构形也就是可约的了。四色猜测也就得到了证明是正确的。可惜张先生至现在还是没有看到这一点的。
5、5—轮构形中的H—构形不可免集
以上我们对四种颜色可能构成的六种链以及他们在5—轮中的相互组合都进行了一一的分析，证明了每一个构形中至少还是有一种链是可以交换的，有交换就可以实现构形的转化，有转化就可以使构形转化成非H—构形，即K—构形，就可以实现4—着色。这就证明了所有的5—轮构形都是可4—着色的。四色猜测也就得到了证明是正确的。

雷  明
二○一六年二月三日于长安

     注：此文已于二○一六年二月三日在《中国博士网》上发表过，网址是：
     

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