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[这个贴子最后由愚工688在 2014/03/16 09:10pm 第 3 次编辑]
《大偶数所分成的素对数量的上下限的计算》
在依据Eratosthenes筛法(简称埃氏筛法)——x不能被≤√x的所有素数整除即为素数的原理,用小于√
(M-2)的所有素数2,3,…,r (r为其中最大的素数,下均同)来判断A-x 与 A+x 是否都是素数,得到如下2个
条件:
条件a:A-x与A+x同时不能够被≤r的所有素数整除时,两个数都是素数;
条件b:A+x不能够被≤r的这些素数整除,而A-x能被其中某素数整除但商为1,两个数也都是素数。
若把偶数M的符合条件a的x值在区间[0,A-3]个数记为S1(m),符合条件b的x值的个数记为S2(m),由上述的
两个条件,即可得到偶数M分成两个素数的全部分法数量S(m),有
S(m)=S1(m)+S2(m) ,{式1}
而 S1(m)=Sp(m)/ [1+δ(m)] ,{式5}——Sp(m)为S1(m)的概率计算值,δ(m)为相对误差(下面用E(m)表示)。
Sp(m)=(A-2)*K(m)* P(m)min=(A-2)* K(m)*(1/2)(1/3)(3/5)(5/7)(9/11)*…*[(r-2)/r] ,{式7} ----连乘式子
式中,K(m)为该偶数的素因子系数,K(m)= kn1* kn2 *…;
这里kn1=(n1-1)/(n1-2),kn2=(n2-1)/(n2-2),…;3 ≤ n1,n2,…,≤r; n1,n2等均为A的素因子。
因此有S1(m)=(A-2)*K(m)* P(m)min/[1+E(m)] ,{式8}
再对{式8}的连乘式子中引进小于最大素数r的全部奇合数,使计算式子能够约分而得到化简:
即有 S1(m)=(A-2)*K(m)*F(m)*(1/2)(1/3)(3/5)(5/7)(7/9)(9/11)*…*[(r-4)/(r-2)][(r-2)/r]/[1+E(m)]
=[(M-4)/(4r)]*K(m)*F(m)/[1+E(m)] ,{式9}
式中,合数因子系数F(m)=f(m1)*f(m2)*…≥1;
这里 m1、m2、…为小于r的全部奇合数,f(m1)=m1/(m1-2),f(m2)=m2/(m2-2) ,
就是{式1}可以如下表示:
S(m) = [(M-4)/(4r)]*K(m)*{F(m)/[1+E(m)]}+S2(m);{式10}
在{式10}中,S2(m)≥0,对于大偶数来说,S2(m)在全部素对中所占的比例比较小,而可以略去;而(M-4)/
(4r)>≈√M/4;
因此{式10}可以化为更加简单的形式:
S(m) ≈ (√M/4)*K(m)*{F(m)/[1+E(m)]}; {式11}
在这个式子中,唯一不能计算的项是相对误差E(m),而上面的化简又使得相对误差中包含了新的不确定的因素。
但是上面的化简对真实的相对误差的影响又很小,即对于E(m)的分布区间影响不大。于是通过 {式11},我们有
可能对大偶数的素对的上下限作出判断。
1.对相对误差E(m)的估计
先看6万以下的误差分布情况:
1.1 相对误差 E(m)分区分布(6--60000)
相对误差 E(m)分区分布(6--60000)
E(m): <-.2 , [-.2~-.1) , [-.1~0) , [0~.1] , (0.1~.2] , (.2~.3] , >.3
--------------------------------------------------------------------------------
[ 6 , 1000 ] 20 90 201 125 39 13 10
[ 6 , 10000 ] 24 288 2731 1755 169 20 11
[ 10002 , 20000 ] 0 8 2568 2404 20 0 0
[ 20002 , 30000 ] 0 0 1538 3445 17 0 0
[ 30002 , 40000 ] 0 0 1243 3742 15 0 0
[ 40002 , 50000 ] 0 0 853 4126 21 0 0
[ 50002 , 60000 ] 0 0 579 4407 14 0 0
1.2 对相对误差作的统计计算:(E1-平均值,E2-标准偏差)
M=[ 6 , 10000 ] R= 97 ,, n= 4998 , E1=-.01 , E2= .07 , E(min)=-.5 ,,, E(max)= 1.286
M=[ 10002 , 20000 ] , R= 139 , n= 5000 , E1= 0 ,,, E2= .04 , E(min)=-.137 , E(max)= .141
M=[ 20002 , 30000 ] , R= 173 , n= 5000 , E1= .01 , E2= .03 , E(min)=-.088 , E(max)= .151
M=[ 30002 , 40000 ] , R= 199 , n= 5000 , E1= .02 , E2= .03 , E(min)=-.087 , E(max)= .123
M=[ 40002 , 50000 ] , R= 223 , n= 5000 , E1= .02 , E2= .03 , E(min)=-.074 , E(max)= .125
M=[ 50002 , 60000 ] , R= 241 , n= 5000 , E1= .03 , E2= .02 , E(min)=-.059 , E(max)= .127
依据统计计算数据,在偶数增大时,误差E(m)向区间[0~.1]集中,并且平均值E1有逐渐增大的趋势;不计一万以下的偶数的相对误差分布情况,故偶数在一千万以上时概率计算的相对误差分布范围估计为:
E(m)=0.15±0.05;
在计算下限时取最大值,计算上限时取最小值。
2. 合数因子系数 F(m)对应于r值不变的偶数区间是个常量,摘录如下:
292 -- 362 r= 17 F(m) = 1.484
[1.484 =(9/7)(15/13)]--由小于r值的全部奇合数组成.
999002452 -- 1000267130 r= 31607 F(m) = 244.8822
1999073524 -- 2000683442 r= 44711 F(m) = 324.2585
2999424292 -- 3000081530 r= 54767 F(m) = 382.6784
3999424084 -- 4000183010 r= 63241 F(m) = 430.5287
4999762684 -- 5000894090 r= 70709 F(m) = 471.8756
3. 素因子系数 K(m)最小为1,即处于下限位置的偶数的K(m)=1;
K(m)大值则由偶数含有的小素数组合形成,一般处于区域偶数的素对的高位。
例:2×3×5×7×11×13×17×19×23=223,092,870
它的K(m)=(2/1)(4/3)(6/5)(10/9)(12/11)(16/15)(18/17)(22/21)= 4.5894
而 2×3×5×7×11×13×17×19×23×29=6,469,693,230 ,
因此在2.23亿与64.69亿之间偶数的最大K(m)= 4.5894 。
4.对大偶数所分成的素对的上下限的计算
求:偶数十亿,二十亿,三十亿,五十亿前后各100个偶数中的素对数目的上下限:
4.1 下限的计算:
偶数10亿的下限为:√1000000000/4*244.8822 /(1+0.20)=1613303
偶数20亿的下限为:√2000000000/4*324.2585 /(1+0.20)=4272481
偶数30亿的下限为:√3000000000/4*382.6784 /(1+0.20)=4366700
偶数50亿的下限为: √5000000000/4*471.8756 /(1+0.20)=6951384
4.2 再计算上限:(由于K(m)= 4.5894 的偶数分布稀少,且误差分布在0以下的大偶数也少,故上限被触及的现
象应该不会发生。)
在10亿附近偶数的素对上限为:√1000000000/4*4.5894 *244.8822/(1+0.10)=10695340
在20亿附近偶数的素对上限为:√2000000000/4*4.5894 *324.2585/(1+0.10)=15125495
在30亿附近偶数的素对上限为:√3000000000/4*4.5894 *382.6784/(1+0.10)=21862396
在50亿附近偶数的素对上限为: √5000000000/4*4.5894 *471.8756/(1+0.10)=3163902
5.结束语
大偶数所分素对数量的上下限的计算就举例到此处。正确与否大家可以评判。毕竟,就算是数学家在这方面也没
有多少可以摆得上台面的东西。而我这里至少数据不会变了,各个数据的来历也交代清楚了,就作为抛砖引玉罢
!有能力计算大偶数的素对的朋友们,有兴趣时可以验证一下,看看是否正确。
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