[原创]埃拉托斯特尼筛法的重要结果

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[watermark]                                 素数定理
                                     文/施承忠
                                     1914.1.4

                          埃拉托斯特尼筛法的重要结果
     我们有一个表示全部n^2个自然数的一个加法公式：
                                n^2=2(1+2+3+...+n-1)+n,它表示了n^2的全部自然数.以下是当n=7时的表法数：
             【1】=(1)
             【1】=(2)
             【2】=(3)(4)
             【2】=(5)(6)
             【3】=(7)(8)(9)
             【3】=(10)(11)(12)
             【4】=(13)(14)(15)(16)
             【4】=(17)(18)(19)(20)
             【5】=(21)(22)(23)(24)(25)
             【5】=(26)(27)(28)(29)(30)
             【6】=(31)(32)(33)(34)(35)(36)
             【6】=(37)(38)(39)(40)(41)(42)
             【7】=(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)
      刚好是7^2=49个数.这里2，3，5，7是所有这些数中的构成素因子.我们将(1)(4)归入到【1】中，其余的合数都归入到它们的最小素因子【2】【3】【5】【7】中去.
      合数部分：
             【2】(6)(8)(10)(12)(14)(16)(18)(20)(22)(24)(26)(28)(30)(32)(34)(36)(38)(40)(42)(44)(46)(48)
             【3】(9)(15)(21)(27)(33)(39)(45)
             【5】(25)(35)
             【7】(49)
      把那些素数也归入到【2】【3】【5】【7】这些素数中去.
      素数部分：
             【2】(2)(3)
             【3】(5)(7)(11)
             【5】(13)(17)(19)(23)(29)
             【7】(31)(37)(41)(43)(47)
     我们可以看出合数部分愈到下面愈少，而素数部分愈到下面愈多.而且素数部分有这样一个规则，一个素数p必然有p个素数，虽然素数7中我们只写入5个素数，事实上
我们也完全可以写入7个素数，因为我们只要再写上(53)(59)就可以了.那么合数部分我们是否也可以这样写呢？完全可以.
     我们把2的合数写成：
             【2】(6)(8)
     素数部分我们只写一项，合数部分我们写2项
             【4】(10)(12)(14)(16)
             【4】(18)(20)(22)(24)
             【6】(26)(28)(30)(32)(34)(36)
             【6】(38)(40)(42)(44)(46)(48)
    把3的合数写成
             【3】(9)(15)(21)
             【9】(27)(33)(39)(45)
             【9】
    在上面一个【9】中我们只要再写入(51)(57)就可以了，在下面一个【9】中我们只要写入(63)(69)(75)(81)(87)(93)(99)(105)(111)就可以了.
             【7】(49)
    我们只要写入(77)(91)(119)(133)(161)(203)就可以了.
    现在我们知道合数都有他们的归类，素数也有他们的归类，它们各自只要计算自己的部分就可以了，所以我们对于π(x)可以归结为一种简单的结果，我们有：
π(x)∼K(x)，其中K(x)=p1+p2+p3+...pk,pk≤√ x.
    我们可以用数学归纳法来证明当pk=pk+1时也不例外.因为当(pk-1)^2到pk^2时，【pk】满足了【pk】=pk1,pk2,pk3,...,pkpkk.而pk+1早就在π(x)中存在，那么在
pk^2到(pk+1)^2中一定存在素数，假定不存在pk+1,那么它至少是pk个素数，但pk+1的合数只有一个，那么它至少有(pk)-1个素数，而且此素数还可以扩大到(pk+1)^2以
外，所以一定存在p(k+1)1,p(k+1)2,p(k+1)3,...,p(k+1)p(k+1)=pk+1个素数.
    我们还可以证明K(x)有两种情况是不可能的：
    第一；
    K(x)不可能为0，除非x<3.因为x>3时，K(4)=2是素数.
    第二；
    k(x)不可能为x,因为所有的自然数不可能都是素数.
    所以0<K(x)<x
    通过以上两点，我们可以知道：当π(x)<K(x)时，K(x)中的素数是密的；当π(x)>K(x)时，k(x)中的素数是稀的.但K(x)不可能永远都是密的，K(x)也不可能永远都
是稀的.所以有无穷多个x，使得π(x)=K(x).
    证毕.
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            埃拉托斯特尼筛法的标准写法
     自然数在这个标准写法中不但不会重复，而且会一个不漏地写下去。
【1】(1）
【1】(4)
【2】【(2)(3)】
【2】(6)(8)
【3】【(5)(7)(11)】
【3】(9)(15)(21)
【4】(10)(12)(14)(16)
【4】(18)(20)(22)(24)
【5】【(13)(17)(19)(23)(29)】
【5】(25)(35)(55)(65)(85)
【6】(26)(28)(30)(32)(34)(36)
【6】(38)(40)(42)(44)(46)(48)
【7】【(31)(37)(41)(43)(47)(53)(59)】
【7】(49)(77)(91)(119)(133)(161)(203)
【8】(50)(52)(54)(56)(58)(60)(62)(64)
【8】(66)(68)(70)(72)(74)(76)(78)(80)
【9】(27)(33)(39)(45)(51)(57)(63)(69)(75)
【9】(81)(87)(93)(99)(105)(111)(117)(123)(129)
【10】(82)(84)(86)(88)(90)(92)(94)(96)(98)(100)
【10】(102)(104)(106)(108)(110)(112)(114)(116)(118)(120)
    用这种方式可以写到无穷。
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埃拉托斯特尼筛法的标准写法
【1】(1）
【1】(4)
【2】【(2)(3)】
【2】(6)(8)
【3】【(5)(7)(11)】
【3】(9)(15)(21)
【4】(10)(12)(14)(16)
【4】(18)(20)(22)(24)
【5】【(13)(17)(19)(23)(29)】
【5】(25)(35)(55)(65)(85)
【6】(26)(28)(30)(32)(34)(36)
【6】(38)(40)(42)(44)(46)(48)
【7】【(31)(37)(41)(43)(47)(53)(59)】
【7】(49)(77)(91)(119)(133)(161)(203)
【8】(50)(52)(54)(56)(58)(60)(62)(64)
【8】(66)(68)(70)(72)(74)(76)(78)(80)
【9】(27)(33)(39)(45)(51)(57)(63)(69)(75)
【9】(81)(87)(93)(99)(105)(111)(117)(123)(129)
【10】(82)(84)(86)(88)(90)(92)(94)(96)(98)(100)
【10】(102)(104)(106)(108)(110)(112)(114)(116)(118)(120)
【11】【(61)(67)(71)(73)(79)(83)(89)(97)(101)(103)(107)】
【11】(121)(143)(187)(209)(253)(319)(341)(407)(451)(473)(517)
【12】(122)(124)(126)(128)(130)(132)(134)(136)(138)(140)(142)(144)
【12】(146)(148)(150)(152)(154)(156)(158)(160)(162)(164)(166)(168)
【13】【(109)(113)(127)(131)(137)(139)(149)(151)(157)(163)(167)(173)(179)】
【13】(169)(221)(247)(299)(377)(403)(481)(533)(559)(611)(689)(767)(793)
【14】(170)(172)(174)(176)(178)(180)(182)(184)(186)(188)(190)(192)(194)(196)
【14】(198)(200)(202)(204)(206)(208)(210)(212)(214)(216)(218)(220)(222)(224)
【15】(135)(141)(147)(153)(159)(165)(171)(177)(183)(189)(195)(201)(207)(213)(219)
【15】(225)(231)(237)(243)(249)(255)(261)(267)(273)(279)(285)(291)(297)(303)(309)
【16】(226)(228)(230)(232)(234)(236)(238)(240)(242)(244)(246)(248)(250)(252)(254)(256)
【16】(258)(260)(262)(264)(266)(268)(270)(272)(274)(276)(278)(280)(282)(284)(286)(288)
【17】【(181)(191)(193)(197)(199)(211)(223)(227)(229)(233)(239)(241)(251)(257)(263)(269)(271)】                                               
【17】(289)(323)(391)(493)(527)(629)(697)(731)(799)(901)(1003)(1037)(1139)(1207)(1241)(1343)(1411)
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  哇晒？
                1914年？
                历史在倒退？？

小草

日期写错了，谢你提醒。

小草

现在筛法被破解了，你们都沉默了！