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[这个贴子最后由技术员在 2013/10/15 08:15pm 第 3 次编辑]
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费马大定理:X^n+Y^n=Z^n, XYZ≠0,n为自然数,n>2的情况下,X,Y,Z没有整数解。
证明:
一、当n>1,且n为奇数,X,Y为非零整数,X+Y为质数时:
X^n+Y^n=(X+Y)*W,W为整数。
Z=[(X+Y)*W]^(1/n),
因为X+Y为质数,X+Y>Z,所以Z必不为整数,而且只能为无理数。
二、当n>1,且n为奇数,X,Y为非零整数,X+Y为合数时:
设A,B为整数,A+B为质数,A^n+B^n=C^n,C必为无理数。
设D为非零整数,且D≠1,(DA)^n+(DB)^n=(DC)^n,DC必不为整数。
设X=DA,Y=DB,X+Y=D*(A+B),Z=DC,对于X^n+Y^n=Z^n
,Z必不为整数。
三、当n为此类偶数,设n=2m,m>1,且m为奇数时,X,Y为整数,假设Z为整数,那么:
X^(2m)+Y^(2m)=Z^(2m)
因为(X^2)^m+(Y^2)^m=(Z^2)^m已经被证明没有 X^2,Y^2,Z^2整数解。所以假设Z为整数不成立,所以Z必不为整数。
同理对于n≠2^r(r为任意自然数)偶数情况,费马大定理也成立。
四、当n=2^r(r>1,且r为任意自然数)的偶数时:
费马本人已经证明了 n=4时,费马大定理成立。
X,Y为非零整数,假设Z为整数:
X^n+Y^n=(X^(2^(r-2)))^4+(Y^(2^(r-2)))^4
=(Z^(2^(r-2)))^4
因为(X^(2^(r-2)))^4+(Y^(2^(r-2)))^4=(Z^(2^(r-2)))^4
已经被证明没有 X^(2^(r-2)),Y^(2^(r-2)),Z^(2^(r-2)) 整数解。所以假设Z为整数不成立,所以Z必不为整数。
证明完毕。
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