f(x),g(x) 在 (a,b) 连续，对 (a,b) 内任何有理数 f(x)=g(x)，证明对实数有 f(x)=g(x)

luyuanhong

题  已知函数 f(x),g(x) 在区间 (a,b) 内连续，对 (a,b) 内任何有理数 x 都有 f(x)=g(x) 。

     证明：对 (a,b) 内任何实数 x ，也有 f(x)=g(x) 。

证  设 x 是 (a,b) 内的一个何实数，这时在 (a,b) 内必有一个有理数数列 {xn} ，使得

                lim(n→∞)xn = x 。

    因为 xn 都是有理数，所以有 f(xn)=g(xn) ，n=1,2,3,… 。

    因为已知 f(x),g(x) 在区间 (a,b) 内连续，所以由函数连续的定义可知，这时必有

                 f(x) = f(lim(n→∞)xn) = lim(n→∞)f(xn)

                = lim(n→∞)g(xn) = g(lim(n→∞)xn) = g(x) 。