F(x) 连续，对任何 x,y∈R 有 F(x+y)=F(x)+F(y)，证明：F(x)=kx ，k 是常数

luyuanhong

tmduser

若已知两个函数f(x)、g(x)在实数区间(a, b)内连续，且对于(a, b)内的任意有理数均有f(x)=g(x)，
则是否可以得出在整个区间内f(x)=g(x)?
个人感觉是正确的，请教一下陆老师，是否有明确的定理或结论？

luyuanhong

题  已知函数 f(x),g(x) 在区间 (a,b) 内连续，对 (a,b) 内任何有理数 x 都有 f(x)=g(x) 。

     证明：对 (a,b) 内任何实数 x ，也有 f(x)=g(x) 。

证  设 x 是 (a,b) 内的一个实数，这时在 (a,b) 内必有一个有理数数列 {xn} ，使得

                lim(n→∞)xn = x 。

    因为 xn 都是有理数，所以有 f(xn)=g(xn) ，n=1,2,3,… 。

    因为已知 f(x),g(x) 在区间 (a,b) 内连续，所以由函数连续的定义可知，这时必有

                 f(x) = f(lim(n→∞)xn) = lim(n→∞)f(xn)

                = lim(n→∞)g(xn) = g(lim(n→∞)xn) = g(x) 。