长方形的自然数分割

杨林

标题是仿照“黄金分割”来的，黄金分割每次分割出1个正方形，自然数分割则依次分割出1个、2个、3个、……n个正方形。
一个宽为W，长为L的长方形（且L不是W的整数倍），必定能分割成n（n为正整数）个边长为W的正方形，以及1个宽为L-nW，长为W的长方形。按照这种分割法：
1.是否存在长方形\(R_0\)，\(R_0\)可以分割成1个正方形以及长方形\(R_1\)，\(R_1\)可以分割成2个正方形以及长方形\(R_2\)，\(R_2\)可以分割成3个正方形以及长方形\(R_3\)，……\(R_n\)可以分割成n个正方形以及长方形\(R_{n+1}\)，\(R_{n+1}\)可以分割成n+1个正方形以及长方形\(R_{n+2}\)，……若存在，长宽比为多少？
2.上题中分割出来的正方形的数量按照顺序组成了正整数数列，如果将题目中的此数列改成平方数数列（即1，4，9，16，25，……\(n^2\)，……）、立方数数列（即1，8，27，64，……\(n^3\)，……）、正奇数数列、正偶数数列，那么是否存在满足条件的长方形？若存在，长宽比是多少？有没有通用的解题方式？