只有一人能看懂的 600 页“天书”数学证明，他宣称解决了当今数学界最大的难题之一

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等待 8 年，一度只有一人能看懂的 600 页“天书”数学证明，他宣称解决了当今数学界最大的难题之一


望月新一（图片来源：京都大学）

2012 年的一天，日本数学家望月新一（Shinichi Mochizuki）将 4 篇论文挂到了他的网站上。这些论文的总篇幅超过了 600 页，望月新一在论文中宣称，他解决了 ABC 猜想——当今数学界最大的难题之一。然而，论文公开后，在很长一段时间内，能读懂这篇论文的数学家寥寥无几。望月新一的证明，也成了数学界的一桩悬案。

同年 4 月 3 日，望月新一关于 ABC 猜想的证明发表在《数理解析研究所公刊》（PRIMS），——正如期刊名字所揭示的那样，这个学术期刊的主办单位正是望月新一任职的京都大学，而该期刊的主编，正是望月新一本人。

尽管争议依旧，但论文被接收就意味着，这个漫长（时间和篇幅双重意义上）的 ABC 猜想证明，终于进入了一个全新的阶段。接下来，望月新一的证明将接受更多同行的评判。

2017 年，《用数学的语言看宇宙：望月新一的 IUT 理论》的作者、望月新一的深交挚友、日本数学家加藤文元的一场演讲引发了热议，也带来了这本书的出版。

这本书虽然是解读望月新一“跨视宇 Teichmüller 理论（IUT 理论）”的通俗读本，但阅读难度不高，通过展现望月新一的数学研究历程，主要传递的还是数学家在做什么？数学家是如何思考的？数学的底层逻辑与深度思考方法等问题。适合众多对数学感兴趣，以及希望学习数学思维的人。

撰文 | 达维德·卡斯泰尔韦基（Davide Castelvecchi）

编译 | 吴非

来源 | 环球科学

30 多年的猜想

望月新一试图解决的 ABC 猜想，是一个有着超过 30 年历史的数论难题。这个猜想揭示了整数加法与乘法之间的深刻联系。每个正整数都能唯一地表达为质数的乘积。现在，a 、b 、c 是 3 个正整数，其中 a + b = c 。如果 a 和 b 能分解为许多小的质数，那么 c 就只能分解为寥寥可数的几个大质数。

这个想法首先是由法国数学家约瑟夫·厄斯特勒（Joseph Oesterlé）在 1985 年的一次演讲中提出的。厄斯特勒当时只是随口一提，但在场的瑞士数学家戴维·马瑟（David Masser）意识到，这个猜想可能非常重要，于是开始宣传它的一种推广形式。因此，ABC 猜想也被称作厄斯特勒-马瑟猜想。

数年后，哈佛大学的数学家诺姆·埃尔奇斯（Noam Elkies）意识到，如果 ABC 猜想是正确的，它将会对整数方程研究领域产生深远的影响——对 ABC 猜想的证明会一下子解决一长串著名的未解丢番图方程。

如何理解 ABC 猜想的重要性呢？我们先来看此前丢番图方程研究史上最重要的突破。美国数学家路易·莫德尔（Louis Mordell）曾在 1922 年提出了一个猜想，认为绝大部分丢番图方程要么没有解，要么只有有限个解；而莫德尔的猜想在 1983 年被德国数学家格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings）证明，他三年后因此获得菲尔兹奖。而如果 ABC 猜想是正确的，你知道的就不仅仅是方程有多少个解，还能把它们全部列出来。

如果得到证实，这将会成为本世纪内最惊人的数学成就之一，也会在整数方程的研究中掀起一场彻底的变革。基于 ABC 猜想，还可能出现一种用于证明费马大定理的全新方法。

苦战十年

望月新一于 1969 年出生在东京，他在幼年时就被家人带到美国。年仅 16 岁时，天赋异禀的望月新一就成为了普林斯顿大学数学系的本科生。很快，他就直接进入了博士阶段的学习，而他的导师正是证明了莫德尔猜想的法尔廷斯。

1994 年，在普林斯顿大学取得博士学位的望月新一回到日本，任职于数理解析研究所。此后几年，他的一系列工作取得了国际声誉。但到了 21 世纪初，望月新一却将自己“封闭”在研究所内，不再参加国际会议，甚至很少离开京都。然而望月新一确实与其他数论学家保持着联系，他们知道望月新一的最终目标就是 ABC 猜想。他几乎没有竞争者：绝大部分数学家明确避开了这个问题，认为它过于棘手。

2012 年 8 月 30 日，望月新一在网上公开了自己的证明。不过，他没有选择预印本网站，而是将论文悄悄地发在了数学科学研究所的网站上。这 4 篇论文不仅篇幅惊人，内容也令其他数学家头疼不已——其中一些数学概念是他完全不熟悉的。望月新一在描述一些全新理论时，会使用令人震惊的、几乎是以救世主自居的语言，他甚至将他创造的这个领域称为“宇宙际几何”。

美国威斯康星大学麦迪逊分校的数论学家乔丹·埃伦伯格（Jordan Ellenberg）这样评价望月新一的论文：“就像是在读来自未来或外太空的论文。”他的导师法尔廷斯也表示：“我尝试读了一部分，然后在某个阶段，我放弃了。我不明白他在干什么”，并且批评他“没有将想法更加清晰地表达出来”。

首先宣称看懂这些证明性的，是英国诺丁汉大学的伊万·费先科（Ivan Fesenko）。费先科仔细研究了望月新一的工作，并在 2014 年拜访望月新一声称，他已经验证了证明的正确性。统括宇宙际几何的主题，如费先科所述，就是我们必须以另一个角度看待整数——将加法放在一旁，将乘法看成某种可以延伸变化的结构。标准的乘法将会成为一类结构中的特殊情况，就像圆是椭圆的特殊情况。但对于绝大多数数学家来说，这些论文依旧是“天书”，望月新一的猜想一度陷入了僵局。

缺陷无法修复？

2017 年 12 月，日本《朝日新闻》报道称，望月新一的论文已经被杂志正式接收，当时就有消息称接收这些论文的正是望月新一担当主编的 PRIMS ，不过 PRIMS 的编辑在当时对这一传言予以否认。

几个月后，望月新一的处境更加不妙。两位德高望重的数学家—— 2018 年菲尔茨奖得主，波恩大学的彼得·朔尔策（Peter Scholze）和歌德大学的雅各布·施蒂克斯（Jacob Stix）反驳了望月新一的证明，并指出其中一个具体的关键段落存在“无法修补的严重缺陷”。作为数论领域的权威，朔尔策在接受采访时表示：“我认为 ABC 猜想依然是开放的，任何人都有机会证明这个猜想。”

2020 年 4 月 3 日，望月新一在数理解析研究所的两位同事召开新闻发布会宣布，望月新一关于 ABC 猜想的证明终于被学术期刊接收、即将正式发表，而接收这些论文的期刊正是 PRIMS 。

不过，论文被接收的消息，似乎也没有让更多数学家转移到望月新一的阵营。“我可以肯定地说，在 2018 年之后，学界的态度没有太大的变化，”加州大学圣迭戈分校的数学家基兰·凯德拉亚（Kiran Kedlaya）说。他曾花了数年时间，试图证明 ABC 猜想。

需要指出的是，数学家在自己担任编辑的学术期刊上发表论文，其实并不罕见。东京大学科维理物理和数学研究所的数学家中岛启（Hiraku Nakajima）说，只要作者回避同行评议流程，“这种情况没有违背任何规则，也很常见。”

在数学界，论文被接收通常并不是同行评议的终点，只有在同行达成共识后，结论才能称得上真正成立。而这个过程，可能需要花费数年时间。

对于望月新一的工作来说，“结果不会是要么完全正确，要么毫无可取之处。”埃伦贝格说。即使 ABC 猜想的证明没有实现，他的方法与观念仍能够缓慢渗透到整个数学界，研究者可能会发现它们在别的方面有用。“基于我对望月新一的了解，我的确认为这些文件中极有可能包含着有趣或者重要的数学。”埃伦贝格说。

但事情也有向另一个方向发展的风险，埃伦贝格补充道：“我想，如果我们将它忘记，那可就太糟糕了。”

参考链接：

https://www.scientificamerican.c ... -will-be-published/

来源：《给宇宙带来革命的数学证明？》（《环球科学》 2015 年 12 期）

好玩的数学 2024-03-26 07:04 江西