梅涅劳斯定理，塞瓦定理的客串（1）---鸿渐于陆

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梅涅劳斯定理，塞瓦定理的客串（1）---鸿渐于陆

原创 lch 茄总笑谈人生几何 2024-02-27 14:06 上海

第一期，我们介绍了梅涅劳斯定理，塞瓦定理的内容，以及在牛顿定理中的客串。经过茄总的冷静考量，我们这一期看一场实打实的客串的戏，欣赏一下戏的多种演法。

言多必失，上戏：



首先，看到角平分线和垂直，我们马上想到对称。所以这个剧本中，我们会首先设计找到 BG,AC 的交点。



这样我们就得到了一个对称图形。

要证明平行，我们可以证明角等，边比例相等，或者斜率相等。看到对称加垂直，而且线段数量少，关系也并不复杂，茄总一开始就进行了建系，进行了一番暴力操作。但其实过程也很简短。我们来看一波：



当然，看到了两个中点，我们也会习惯性的把中位线连出来。



然后，我们思考一下另外两个证明平行的思路：

首先，用证明角相等的去设计剧本的思路我们可以放一放了。因为 ∠AFD 和 ∠BDF 没有办法导出去。如果通过正余弦定理证明三角函数值相等，那么等价于证边的关系。

所以说，要想用另一种方式设一个全新的剧本，我们就只能让边去担任这场戏的主演！！！

首先，我们先来看一看梅涅劳斯定理的客串：



这个剧本的设计巧妙地利用了平行和中点的性质，十分简洁精妙！！！

然后，我们看一个没有客串，直接利用平行导比例的方法：



这个剧本的设计十分的巧妙，通过构造平行四边形来补充平行关系和条件，再通过平行去导比例，进而证明最终的平行。

回过头来看一看，GE 延伸到 P ，会经过 AB 中点。这个中点肯定会有它的存在意义。接下来，我们来通过你这个中点，看一下塞瓦定理的客串：



这样的话，巧妙构造中点，十分直接地解决了问题！！！

感谢收看！！！下期预告---梅涅劳斯定理，塞瓦定理的运用（2）