在很大程度上, 几何就是数学家的工作对象

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在很大程度上, 几何就是数学家的工作对象

作者：[美] 威廉·邓纳姆 图灵新知 2024-03-15 19:00 北京



圆和 π 能激起人们的兴趣，因为它们是数学事业的中心。这一世界性伟大数值的前 30 位小数是：π = 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 ……

几何, 是数学的一个重要分支。几何是古希腊数学家最关注的领域, 拥有悠久而光辉的历史。在古典数学世界中, 这门学科如此著名, 以至于数学家和几何学家二者成了同义词。在很大程度上, 几何就是数学家的工作对象。

当然, 我们可以从许多不同的角度介绍几何。比如圆, 这是最重要的几何概念之一。圆简单、端庄、优美, 充分展示了二维的完美。在古希腊人的手里, 这些圆不仅自身非常重要, 而且是展示其他几何思想的主要工具。

圆这一术语已经成为我们的常用词。根据定义, 圆是到一个固定点距离相同的所有点组成的平面图形。这个固定点称为圆心, 而所有点到圆心的相同距离称为半径。通过圆心穿过圆的线段距离称为直径。这个圆形曲线的长度, 即做一次完整圆周运动所经过的距离称为周长。

第一次认识圆的初学者也会很快认识到这样一个事实：所有圆都有相同的形状——可能有的大些而有的小些, 但是它们“圈”的样子,它们完美的圆形是完全相同的。数学家称所有圆都是相似的。不妨做个对比, 我们说并不是所有的三角形都有相同的形状, 并不是所有的矩形都有相同的形状, 并不是所有的人都有相同的体态。我们很容易想象高而细长的矩形, 或者高而瘦的人。但是, 高而细长的圆根本就不是圆。

所以, 圆都有相同的形状。在这些枯燥的观察之后有一个重要的数学定理：对于所有圆来说, 周长与直径的比值是相同的。无论是有大圆周和大直径的大圆, 还是有小圆周和小直径的小圆, 周长与直径的这个相对比值都是相同的。设 C 表示周长, D 表示直径, 数学家说, 对于所有的圆, 比值 C/D 是常数。

我们把这个常数称作什么呢？数学家从不会错过引入新符号的机会, 他们选择了希腊字母表中的第十六个字母 π , 从此使它成为一种数学永恒。这一选择非常合适, 因为是古希腊人首先对圆进行数学研究的, 但是古希腊人自己并不在这种意义之下使用 π 。

为了形式化这个概念, 我们考虑图 C-1 并引入如下定义。



定义  如果 C 是圆的周长, D 是它的直径, 那么 C/D = π 。

交叉相乘后, 这个定义产生了一个著名的公式 C = πD 。由于直径是半径（r）的两倍, 我们利用这个关系得到了一个等价的著名公式  C = 2πr 。

因此, π 提供了周长（一个长度）和半径（另一个长度）之间的关系。这非常重要, 因为同样是这个常数提供了圆的面积与其半径之间的关系, 尽管这一事实不是十分显然的。讨论一下为什么会这样, 还是很值得的。

其重要思想是用一个内接正多边形来近似一个圆, 所谓的正多边形指的是所有边都有相同长度且所有角都有相同大小的多边形。与圆比起来, 多边形是一个更容易接受的图形, 我们对于多边形的了解能引导我们了解它们的外接圆。



在图 C-2 中, 我们看到一个正多边形内接于半径为 r 的圆。为了确定这个多边形的面积, 我们从这个圆的圆心到这个圆上的五个顶点画半径, 于是把这个多边形分成五个三角形。每个三角形都有长度为 b 的底边, 这是这个多边形的边。三角形的高为 h , 这是从这个圆的圆心到这个多边形的边垂直画出的虚线, 我们称其为边心距。根据著名的三角形面积公式, 我们看到



所以



而 5b 正是这个多边形的边长的 5 倍, 因此它等于这个多边形的周长。

总之, 我们已经得到



经过片刻的沉思, 我们就会明白, 无论我们在一个圆内内接一个正五边形还是正二十边形或者正 1000 边形, 这个公式都成立。对于一般的情况, 即在圆内内接一个正 n 边形, 这个多边形被分成 n 个小三角形, 每个小三角形都有相同的边心距 h（从圆心到多边形的边的垂直距离）和底 b（这个 n 边形的边长）。因此,



因为周长是多边形边长 b 的 n 倍。

现在, 我们想象连续地内接一个正 10 边形、一个正 10 000 边形、一个正 10 000 000 边形等, 这样不停地增加边数。很显然, 至少在直观上, 以这种方式, 多边形将逐渐“填满”（fill up）圆, 古希腊人说这是“耗尽”（exhaust）圆, 因此内接图形的面积将接近圆面积, 以圆面积为其面积的上限。使用记法 lim 表示极限 limit , 我们看到



内接正多边形的面积永远不会与圆的面积精确地相等, 因为无论内接多边形的边多么小, 它们都不会精确地与圆弧重合。但是, 这个多边形的面积可以任意接近这个极限面积, 即这个圆的面积。

还有两个问题：当多边形的边数无限增加时, 边心距和周长有什么变化呢？显然 h 将以这个圆的半径为其极限值。同样内接正 n 边形的周长的极限值是这个圆的周长。这些事实可以用符号表示如下：



因此,



π 终于露面了, 因为我们注意到上面的 C = πD = 2πr 。因此前面的公式变成：



毫无疑问, 这是数学中一个关键的公式, 这个公式不仅令数学家感到兴奋, 甚至令报纸漫画家感到兴奋（见图 C-3）。



所以, 如果求一个给定的圆的周长或者面积, 我们就一定会遇到 π 。但是这引发了一个实际问题, 即要确定这个重要的比值。总之, π 是一个真正的、毫不掺假的数的符号, 任何人要做与圆相关的计算时都需要知道这个数（至少是近似值）。就像只使用“鸡蛋”一词不能做蛋糕一样, 只使用符号 π 也无法求圆面积的数值。

近似比值 C/D 的最简单的方法是量出某个圆的周长和直径, 然后由前者除以后者。例如, 绕一辆自行车的轮胎一周的一段绳子量出是 82 英寸, 而同时拉伸另一段绳子测得这个轮胎的直径是 26 英寸。因此, 我们实际的实验产生的估测是 π = C/D ≈ 82/26 = 3.15 ……, 而 ≈ 表示“约等于”, 和前一章的意思一样。遗憾的是, 当用同样的方法去测量一个咖啡罐的圆形盖子的周长和直径时, 我们得到 π = C/D ≈18/6 = 3.00 , 这个结果并没有非常接近第一次的估测值。像这类物理测量显然要带来一些误差, 无论如何, 现实中的咖啡罐和自行车轮胎都不是完美的数学圆。

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作者：[美] 威廉·邓纳姆（William Dunham）

译者：冯速

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