棣莫弗定理——正态曲线的诞生

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棣莫弗定理——正态曲线的诞生

原创 围城里的猫 MathSpark 2024-02-18 08:02 安徽

我猜你可能见过下面这张图：



这对我们理解著名的棣莫弗公式是有帮助的，当然他的著名定理棣莫弗定理也是他的成名作，在 1689 年左右，瑞士联邦可能出现了数学上最重大的发现之一，主角是我们曾经介绍的数学天才家族一员——雅各布·伯努利，他发现了弱大数定律，该定律表明随机选择的样本的平均值在概率上收敛于总体的平均值。不过有一点很不幸运，伯努利在二项式背景下证明弱大数定律，在 1600 年代的欧洲没有一个人知道如何有效地近似（更不用说计算）构成二项式概率的大而笨重的阶乘了。这就意味着，尽管弱大数定律具有开创性的重要性，但它几乎没有实际用处。

1705 年雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）去世四十年后，一位自我放逐到英国的法国人亚伯拉罕·棣莫弗（Abraham De Moivre）破解了二项式逼近问题，并为我们带来了正态分布曲线。这是他的故事定理和遗产。



棣莫弗 1667  年出生于维特里勒弗朗索瓦（Vitry-le-Francois），这是法兰西王国香槟省的一个整洁的小公社。



棣莫弗童年的大部分时间都在各种新教和天主教学校中度过，对于一个数学神童来说，他的学校生活不太愉快。当时法国正处于路易十四的铁腕统治下，他的父母信奉新教，二十岁时，棣莫弗面临着一个选择：皈依、反抗或逃离。最终他选择逃往英国。

就这样，1687 年夏天，年轻的棣莫弗开始了一危险的飞行，离开巴黎，穿越法国，越过英吉利海峡，安全到达英国。就在那一年——同一个夏天——在巴黎以东 400 英里的瑞士巴塞尔，32 岁的雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）正在小心翼翼地将自己的想法倾注在他的代表作《Ars Conjectandi》的第四部分中，这些想法最终引导棣莫弗取得了 18 世纪数学中一些最出色的数学突破。



1687 年夏天，当棣莫弗到达英国时，他已经相当精通数学了，他不仅很快开始以数学导师的身份谋生，而且还迅速融入了 17 世纪英国的知识分子生活。很快便和埃德蒙·哈雷和艾萨克·牛顿成为朋友，30 岁加入了英国皇家学会，并在某个时候熟悉了伯努利家族（特别是当时已去世的雅各布·伯努利和他的侄子约翰伯努利）的作品，在这里棣莫弗远离了路易十四的龙骑兵，在持续的恐惧中度过的童年压力已经成为了遥远的记忆，他丰富的思想终于找到了一个宽松的环境。



中年的棣莫弗在英国生活几年后，才对雅各布·伯努利关于大数定律的著作产生了真正持久的兴趣。不过真正了解为什么这种兴趣最终导致钟形曲线的诞生，我们不妨来看看伯努利著作里的内容。当然原始的著作很难读，我摘录了一些现代关于这方面研究内容的图片，我们快速地看看就好。


弱大数定律


弱大数定律的替代形式



最后一张图片也是整个事情变得困难的原因，对于较大的 n ，两个求和中的阶乘变得巨大且几乎无法计算。我们可以想象一下计算 20！，更不用说 100！或 1000！因此我们需要的是一种良好的阶乘（n!）近似技术。在 Ars Conjectandi 中，雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）做了一些微弱的尝试，但他的近似的质量还有很多不足之处。

1700 年代初期，当第一次开始研究伯努利的工作时，他立即意识到需要一种快速、高质量的近似技术来计算两个求和中的阶乘项。如果没有近似技术，伯努利的伟大成就就像一只没有线的大而美丽的风筝，没什么实际用处。为了解决这个，棣莫弗研究了下面的这些内容，首先是二项式公式



棣莫弗用二项式公式重新计算弱大数定律中的概率的原因非常简单。可见下面这张图片：



十多年来，棣莫弗致力于解决近似问题，创建了越来越准确的阶乘项近似值。到 1733 年，他发表了后来被称为棣莫弗定理的著作，基本完成了他的工作。主要见下面的图片。







您是否注意到最后一张图右边的积分有一些熟悉的地方？这是标准正态变量概率密度下的面积公式。



积分里面的公式就是标准正态随机变量 Z 的概率密度函数：



剩下的一些零散的工作主要集中在下面的这些图片中













因此，棣莫弗证明了，对于非常大的 n ：



但是棣莫弗真正想要的是近似伯努利定理左边的的概率：



他通过进行以下简单的替换成功地做到了这一点：



这就产生了下面的渐近等式：



棣莫弗以优雅的手段展示了如何近似大样本量下伯努利定理中的概率。不过直到 1733 年正态分布曲线才第一次出现在统计文献中，棣莫弗本质上发现了正态分布函数，但没有意识到他的发现的深远用途。除了近似大样本量的二项式概率密度的方法之外，他似乎没有关注他著作中的曲线。以后来的眼光来看，棣莫弗非常接近将他的结果推广到一种现在被接受为中心极限定理的形式。但他太过专注于改进雅各布·伯努利的二项式概率近似，因而忽略了这一点



尽管他取得了许多成就，并且与英国科学界的名人熟悉，但他从未找到教授的工作。在他漫长的一生中，他似乎一直在私人环境中继续辅导学生。他的生计主要来自辅导和书籍销售。从各方面来看，这仅够勉强维持生计。但事实就是无论富有与否，他无疑都是才华横溢的。他在概率方面的工作并没有被忽视。他于 1754 年去世，享年 87 岁。但早在他去世之前，欧洲各地众多 18 世纪数学家就已经开始直接或间接地受到他的工作的影响。所有这些科学家都从不同的角度和不同的动机来研究概率问题。



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