求 y=(x^4+6x^3+12x^2+24x+16)／(x^4+6x^3+13x^2+24x+16) 的最小值

波斯猫猫

思路（用均值定理）：因为x＞0，所以

y=(x^4+6x^3+12x^2+24x+16)／(x^4+6x^3+13x^2+24x+16)
         
=1-x^2/(x^4+6x^3+13x^2+24x+16)=1-1/[(x^2+16/x^2)+6(x+4/x)+13]
        
≥1-1/(2×4+6×2×2+13)=44/45  (当且仅当x=2时等号成立)。

即，ymin=44/45。

liangchuxu

可能讨论的问题不同。

王守恩

1. Minimize[{(x^4+6x^3+12x^2+24x+16)/(x^4+6x^3+13x^2+24x+16),x>0},{x}]

复制代码

{44/45, {x -> 2}}

1. Maximize[{x^2/(x^4+6x^3+13x^2+24x+16),x>0},{x}]

复制代码

{1/45, {x -> 2}}

1. Minimize[{(x^4+6x^3+13x^2+24x+16)/x^2,x>0},{x}]

复制代码

{45, {x -> 2}}

1. Minimize[{(x+4/x)^2+6(x+4/x)+5,x>0},{x}]

复制代码

{45, {x -> 2}}

1. Minimize[{y^2+6y+5,y==x+4/x,x>0},{x,y}]

复制代码

{45, {x -> 2, y -> 4}}

波斯猫猫

思路（用a^2+b^2≥2ab）：由y=(x^4+6x^3+12x^2+24x+16)／(x^4+6x^3+13x^2+24x+16)

有 x^2(13y-12)/(1-y) =(x^4+16)+6(x^3+4x)≥32x^2 (当且仅当x=2时等号成立)，  

解得y≥44/45，即ymin=44/45。

liangchuxu

为解题找些理论根据，欢迎指教。

tmduser

liangchuxu 发表于 2024-3-22 10:28
为解题找些理论根据，欢迎指教。

楼上结论是错误的，举一个简单的例子。
h(x) = x^2 + (2 +1/x )^2    （x>0)
按照你的结论，h(x)取最小值时有：  x = 2 +1/x
解得: x=1+√2
代入h(x)得到最小值为：6+4√2 =11.656854249492380195...
但事实上：h(1)=10
显然最小值点不会成立。

波斯猫猫

求 y=(x^4+6x^3+12x^2+24x+16)／(x^4+6x^3+13x^2+24x+16) 的最小值 。
用暴力的手段，即用求导数的方法也较为容易。

liangchuxu

tmduser 发表于 2024-3-22 15:00
楼上结论是错误的，举一个简单的例子。
h(x) = x^2 + (2 +1/x )^2    （x>0)
按照你的结论，h(x)取最小 ...

望多多指教。本人喜欢作些探究。

liangchuxu

抱歉，算错了。两者相等。针对此题解法，作如下探究。