真有趣！原来一条直线还可以用多条曲线代替？

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真有趣！原来一条直线还可以用多条曲线代替？

原创 Masir123 科学羊 2024-03-11 07:23 广东

大家好，我是科学羊，这里是数学专栏第 3 季第 15 篇。



副标题：现代数学研究什么？

接下来几篇我们来仔细聊聊一个话题 —— 现代数学究竟研究什么？

我们知道，科技的发展，带给我们感觉是真实的，比如去年的大语言模型 GPT 技术，以及今年即将很火的 Sora 等，但再怎么变它们都是基于同一个机器学习下面的不同分支罢了。

话说，术业有专攻嘛！

但是，不管怎样，这些技术都有一个底层结构，谁也逃不过，那就是——数学。

大语言模型，无非就是一堆输入进入一大堆黑盒子（函数模型）之后的输出。而这些函数都是由很复杂的数学算法构成的。（人工智能的原理我们后面开启 AI 专栏会谈）


图片来自 Analytics India Magazine ｜ 得到

所以，我们感受到的是真实的世界给我们的变化，比如 AI 的发展，机器人的技术发展、人工智能的技术发展等等...

那么，请问数学，发展到哪里了？

曾经有人问过一些大物理学家，关于宇宙和科技的话题，而这些大物理学家的解释是——它们的底层数学还没发展起来，还要等数学壮大才行。

但是数学的发展到现在为止是非常缓慢的，接下来我们来谈谈这话题。

01 从具体到抽象的影子

在探索现代数学的奥秘时，我们不可避免地遇到一个领域，那就是集合论，一个对于非数学专业的朋友们或许显得遥远而又神秘的领域。


集合论创始人 ｜ 德国数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）

然而，正是这个领域，代表着人类文明智慧的前沿。

因此，我们在探讨数学的旅程中，选择将集合论作为终章，以尊重其深刻的影响力和价值。

从具象到抽象——智慧的演化之路

历史上，每个知识领域的发展都遵循一个从具象到抽象的演化过程。

语言的出现便是一个典型例子。我们的祖先不需要眼前真实存在一只水牛或羚羊，就能通过“水牛”这一概念来共享狩猎的信息。

同样地，数字的概念诞生，标志着从具体事物到数量概念的一大跃进，如“10 支箭”或“10 只水牛”都能以数字“10”来表达，体现了从具体到抽象的思维进化。

艺术的发展也从追求逼真的具象表现，逐步演变到表达抽象的思想和情感。

1850 年之后，绘画和音乐领域的发展尤为明显，艺术家们开始追求通过颜色、线条和光影来传达深层次的思想和情绪，从而诞生了抽象派艺术。

同样的演化过程，也体现在个人智力的成熟上，成年人相较于孩子，更能理解和把握抽象概念，如宇宙和黑洞的本质。

数学作为抽象思维的巅峰，其发展历程同样体现了这一演化过程，比如：

跟图形相关的，丈量土地，剪裁衣服，这些就叫做几何。

根据已知数求未知数列算式的就被叫做代数。

往空中抛两个银币，有多大的可能它们都是正面呢？这个叫做概率论。

然而，这些都是具象化的理解，现代数学之后，构建在集合论的基础之上，从前这些分类就显得太弱了。

之后的分类就是靠集合的结构，所以这些传统的分类方法虽然对外行来说依然是显而易见，好理解的，但实际最前沿的数学已经不再把它们当作是单独的分类了。

它们在集合论的角度看都出现了新的结构，这个是站在 2017 年的后话。

从解决实际问题的几何和代数，到探索可能性的概率论，数学不断地从具象走向抽象，最终发展到以集合论为基础的现代数学体系。

微积分基础的构成

牛顿和莱布尼茨的微积分，虽然在解决实际问题上大放异彩，但其理论基础却曾饱受质疑，整个过程经历了130年，直到柯西等数学家的努力，才使微积分有了坚实的理论基础，为后来的数学研究打下了基础。

也正是因为柯西的工作，数学家们认识到很多类型的函数都可以统一地用 sin 或者 cos 这样的三角函数，几个叠加或者是无穷多个三角函数叠加之后表示出来。

当然，这是高等代数的基础知识了。


三角级数

也就是说，数学家们逐渐意识到，即使是初看似乎与三角无关的函数，也可以通过三角函数的展开式来逼近。这不仅是技术上的突破，更是对抽象思维能力的一种挑战。

我们具体来看看：

上面的动图，黑横线有正也有负，而这部分黑色的线段就是我们想要的结果。

红曲线不断地变化。为什么变？

因为我们不断地把更多的三角函数叠加在上面。

最初，只有一条波浪线，后来在波浪线上继续叠加波浪，随着波浪不断变多，红色的线条越来越接近黑色横杠的样子。

这时候咱们再把注意力放在图片下方，那个几乎看不清的公式上。

一个三角级数可以写作如上形式，广泛应用于傅立叶分析中

那个公式每一项每一项都是一级三角函数，那个公式就是把这一级又一级的三角函数不断叠加，图形也会变得不断复杂，每叠加一项，红色的曲线就离黑色目标形状靠近一些。

大家可以数一数，现在这张图是叠加了 8 项之后的效果，其实理论上它是可以按照特定的规律无限叠加，叠加 9 项，甚至 9 万项。

叠加的三角函数无限多之后，红色的线段就会无限地接近黑色的线段了，我们就管叠加了无限项数之后的式子叫做这个函数对应的三角函数的展开式。

这大致就是数学家们乐于见到的样子，因为从前跟三角一点关系都没有的函数，现在竟然可以用三角函数无限趋近了。

然后这时候，有人会问：当我们用三角级数来表示一个给定的函数时，这种表示法是否具有唯一性？换言之，对于同一函数，是否存在多种不同的三角级数展开式？

这一疑问最初由黎曼于 1854 年提出，而直到 1870 年，海涅才迈出了解决这一问题的第一步。

他的发现是：如果一个函数的三角级数展开是一致收敛的，那么这个展开式是唯一的。一致收敛，这个概念在数学中是对收敛定义的一种加强，它要求函数序列的极限行为更加严格和统一。

借助一个形象的比喻，如果将收敛比作体重管理，那么普通的收敛好比是设定一个上限，比如说不超过 300 斤，而一致收敛的要求则更为严格，不仅体重不超过这个上限，还要在规定时间内减至一个更低的水平，比如 200 斤。

但这样的标准对于许多函数来说是过于苛刻的，导致他们无法满足这一条件。于是，数学界开始寻求在更宽松的条件下进行证明，探索是否有其他方式可以达到同样的结论。

海涅在随后的一年做出了进一步的努力，他证明了即使在某些特定的间断点不一致收敛，只要函数在其他部分保持一致收敛，那么其三角级数展开式仍然是唯一的。这虽然略有宽松，但依旧是一个相当严格的条件。

所谓间断点，可以通过一张动图来理解：想象一个函数图像，其值在某些点突然跳跃，例如从正1跳到负1，这些跳跃点就是所谓的间断点。

尽管海涅的工作为这一问题的解决提供了新的视角，但仍存在挑战，尤其是当函数有无限多个间断点时，这个唯一性问题变得更加复杂。

然而，就在数学界对此感到困惑之际，格奥尔格·康托以其创新的思想打破了僵局。

康托不仅证明了即使函数在有限个间断点上不一致收敛，其三角级数展开式仍然具有唯一性，他更进一步展示了即使存在无限多个间断点，只要这些间断点遵循某种特殊规律，展开式的唯一性依然得以保持。

康托的研究展示了一种全新的视角，将对无穷的理解推向了前所未有的深度。

他不仅探讨了无穷多个间断点的性质，还尝试为这些无尽的数列寻找规律，这在当时无疑是一项革命性的工作。

通过他的工作，我们得以见证了数学从对有限事物的研究转向对无限的深入探索，开启了全新的思考方式和研究领域。

好，今天就先这样啦～

祝幸福～

科学羊  2024/03/11

mathmatical

前不久，我到书店买书买的是，华东师范大学版的，<数学分析>，是春风晚霞推荐的，
第二本是，陈大岳院士，张文平院士伍老师编辑的，<复变函数简明章程>，是正版！
第三，四本是，通讯工程专业的两本考研资料。

老师的工资太低了，要提高老师工资才好！