21 世纪数论中的重大里程碑——卡塔兰猜想，为什么数字 2 和 3 很重要

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21 世纪数论中的重大里程碑——卡塔兰猜想，为什么数字 2 和 3 很重要

原创 我才是老胡 老胡说科学 2024-03-10 23:03 上海



当我深入探索数学猜想的深渊时，卡塔兰猜想（Catalan's Conjecture）像一个诱人的谜题一样吸引着我，等待被解开。就像一个被复杂案件吸引的侦探，我发现自己不可抗拒地被这个有趣的命题所吸引。

这个猜想最初由比利时数学家尤金·查尔斯·卡塔兰在 1844 年提出，它特有的神秘感已经吸引了数学家们近两个世纪。它的本质在于一个看似简单的问题：除了 8 和 9 之外，没有其他连续的正整数幂之间差为 1 。

也就是说方程：



只有唯一的正整数解：



当我思考这个问题时，我被它具有欺骗性的简单性所震惊。乍一看，它似乎很直接，仅仅是探索整数幂次之间的关系的问题。然而，这种简单性的外表下隐藏着一个等待被揭开的错综复杂的数学关系迷宫。

我探索卡塔兰猜想的深度之旅，带我穿越了素因数分解、模运算和丢番图方程的风景。每一步，我都面对着数学推理的优雅和数字模式的美丽。

然而，尽管经过了几个世纪的探索，卡塔兰猜想仍然未解决。它证明了数学的无限复杂性，挑战我们“理解力”的极限。

随着我继续探索卡塔兰猜想，我想起了法国数学家亨利·庞加莱的话：

数学是给不同事物以相同名称的艺术。

数字的力量

卡塔兰猜想，也被称为米哈伊莱斯库定理（Mihǎilescu's Theorem），是数论中一个引人入胜的结果。它最初由数学家尤金·查尔斯·卡塔兰在 1844 年提出，这个开放问题超过一个世纪都未被解决，直到 2002 年由罗马尼亚数学家普雷达·米哈伊莱斯库最终解决。

该猜想讨论的是强大的数学概念之间的相互作用，并对理解某些指数方程的整数解的结构具有深远的意义。



考虑大于 1 的整数的平方和立方序列，从整数 4、8、9、16、25、27、32 和 36 开始……



值得注意的是，在这个序列中，存在两个连续项不仅是整数的幂，而且是连续的整数。例如，8（即 2 的立方，2^3）和 9（即 3 的平方，3^2）既是连续的整数，也是整数的幂。

寻求解决方案

卡塔兰猜想的表述看似简单 — 如果“a”和“b”是大于 1 的正整数且互质，并且它们不都是完美的平方数，那么方程，



在正整数 x、y、a 和 b 中只有一个解，即 a=2，b=3，x=3，y=2 。这意味着，除了 8 和 9 之外，没有其他连续的正整数幂之间差为 1 。

为了解这个方程，



这里，因式分解使问题显著简化，因为我们现在可以专注于理解 y 的除数。假设 y 是奇数，这意味着 2 不整除 y 。



如果 y 是奇数，那么 y 的任何因子要么整除（x-1），要么整除（x+1），但两者不会同时发生。这意味着（x-1）和（x+1）都必须是立方数，因为 y 的所有因子必须包含在这两个项中的一个。

然而，我们知道两个立方数之间不可能只相差两个单位。想想立方数的序列—— 1、8、27 等等。所以，当我们沿着这个序列前进时，任意两个连续立方数之间的差距不断增大。

所以，假设我们得到了这个方程。如果数 y 是奇数，结果是没有满足条件的答案。现在，如果 y 是偶数，看起来似乎会给我们一些额外的操作空间，用那些 2 的因子。但是，同样的想法也适用，在这种情况下你仍然找不到任何解。

Preda Mihǎilescu 在数论中的伟大胜利

这个猜想背后的想法看似直接，但证明它绝非易事。它被认为是 21 世纪数论中的一个重大里程碑。

Preda Mihǎilescu 的证明，就像他动用了代数数论中所有的重型武器。他深入研究了像分圆域（cyclotomic fields）和伽罗瓦表示（Galois representations）这样的内容，要完全理解这些内容绝非易事。他的策略核心是什么？他深挖所谓的 Wieferich 素数，并使用了来自伽罗瓦模结构和模形式理论中一些非常复杂的东西。

为了欣赏卡塔兰猜想的特别之处，让我们回到过去。有这么一个家伙，名叫欧仁·夏尔·卡塔兰（Eugène Charles Catalan），一个来自比利时、有法国血统的数学天才。这家伙在数学方面绝非浪得虚名——他在组合数学、几何学和数论等各个领域都引起了轰动。

所以，回到 1844 年，卡塔兰给他的数学朋友 Joseph Bertrand 发了一封信，脑海中萦绕着这个想法。他就像是说：

如果我提出这个狂野的猜想怎么样？

这就是整个事情开始的方式。

一百多年来，来自世界各地的数学天才就像侦探一样试图破解这个数学之谜——卡塔兰猜想。他们尝试了每一个技巧，以证明它是对还是错。一路上，一些人取得了一些真正的进展，解决了某些案例，并提出了各种巧妙的方法。但是，关键点在于——他们还没能完全拼凑出整个谜题。

接着，让我们介绍 Paul Wolfskehl ，一位德国数学大师。他对整个卡塔兰猜想非常投入，以至于他在遗嘱中悬赏一大笔现金奖励给能最终解决这个问题的人。现在，尽管没有人最终获得那个奖金，但这确实激发了每个人对这个问题的热情。Wolfskehl 的提议在数学界点燃了火花，推动他们全力以赴地追求破解这个谜题。

快进到 1985 年，Robert Tijdeman 和 Maurice Mignotte ，两位数学奇才，各自工作却意外中了头彩——他们破解了所谓的 A 方程的密码。他们的发现是巨大的——证明了对于任意给定的指数 a 和 b ，这个方程式只有有限的解。这就像在数学世界中发现了一个隐藏的宝藏。

现在，他们并没有解决卡塔兰猜想的整个谜团，但这个发现，被称为 Tijdeman-Zagier 定理，是向前迈出的一大步。它让我们窥见了方程的内部运作，使我们走上了更好地理解它的道路。

2002 年，罗马尼亚数学家 Preda Mihǎilescu 通过借鉴之前众多数学家的贡献，实现了一个突破，证明了这个猜想。他的革命性证明在一篇题为“Primary Cyclotomic Units and the Confirmation of Catalan's Conjecture”的论文中被提出。



Mihǎilescu 的方法论融合了几个关键概念和方法论。其中，分圆域理论扮演了中心角色。这些域是有理数域通过添加单位根而获得的扩展。具体来说，Mihǎilescu 利用了分圆单位的特性和分圆域中固有的伽罗瓦模结构来审视 A 方程。

伽罗瓦模是一种数学结构，它由一个模构成，该模受到定义在某个域扩展上的伽罗瓦群的作用。简单地说，这意味着我们有一个模（可以理解为某种数学对象的集合），并且这个模被一个伽罗瓦群通过特定的方式操作或变换。伽罗瓦表示是这种结构的一个特例，其中模不仅仅是任意的模，而是一个向量空间或者更一般的，一个在某个域或环上的自由模，这在表示论中很重要。尽管“伽罗瓦表示”这个术语常用于描述这种情形，但它也可以与“G-模”这个术语互换使用，后者更侧重于模的基本代数结构以及它如何与伽罗瓦群的动作相互作用。

Preda Mihǎilescu 证明中的 Wieferich 素数和模形式（Modular Forms）

证明的另一个关键部分集中在研究 Wieferich 素数上。Preda Mihailescu 在 2002 年 4 月 18 日完成了他的证明，首先展示了除了对 (p,q) = (2,3) 之外的任何解，必须满足这两个条件：



● 如果当你将一个素数 p 平方，它能够整除表达式 2^p - 1 ，那么这个素数 p 就是一个 Wieferich 素数。

如果以 q 为底数，p 是一个 Wieferich 素数，且以 p 为底数，q 也是一个 Wieferich 素数。

为了完成证明，Mihǎilescu 利用了模形式理论中的一个深刻结果，特别是与模形式 Δ(z) - 1 相关，其中 Δ(z) 是判别函数。



这使他能够确定，在特定条件下，“a”和“b”对于方程 A 没有其他解。

Mihǎilescu 解决卡塔兰猜想的成功获得了数学家们的广泛赞赏。他优雅的证明为一直吸引数学界几代人的问题提供了一个确凿的解答。此外，它还强调了数学界内部协作努力的有效性。多年来众多数学家的累积进步为最终的证明奠定了基础，凸显了集体努力在解决复杂数学问题时的力量。

解决卡塔兰猜想不仅解决了一个长期存在的问题，还提供了对特定指数丢番图方程正整数解的底层结构的见解。Mihǎilescu 的证明突出了数字 2 和 3 的重要性，将它们与 Wieferich 素数的基本属性及其与模形式 Δ(z) - 1 的关系联系起来。

此外，Mihǎilescu 的成就在各个数学领域都具有深远的影响。它与诸如丢番图方程理论、模形式以及对分圆域探索等多个不同领域建立了联系。