导数的几何意义（五）——隐零点问题

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导数的几何意义（五）——隐零点问题

原创 深度一佳 深度一佳 2024-03-07 13:50 山东

隐零点问题本质上还是函数的零点问题，只不过这个零点的值我们没有办法用一个确定的值来表示而已。

比如这个函数有一个零点，这个零点的值可以直接求出来：



这个结果安排的明明白白，就是一个具体的值。

现在再给你一个函数：



假如让你求出它的零点，你又该如何应对呢？如果令：



我们知道这个方程有解，交点就在第一象限的 A 点，是个显眼包：



但这个 A 点具体的横坐标是多少呢？我们没办法给出一个确定的值。

也就是说我们明知道这个函数有一个零点，但就是没办法给出这个零点的具体数值，不可描述，这时候我们就称为这个零点为隐零点。

本质上，隐零点也是零点，是一个没办法描述具体值的零点。

虽然我们没办法给出具体值，但我们可以给出这个零点的大致范围。

求导之后，我们就能知道这个函数是单调递增的：



既然单调增，那么我们令：



如果我们找到：



那就可以确定零点的大致范围：



这里的区间开闭都可以。

针对上述函数，我们尝试具体的值代入：



也就是说，我们可以得出零点较为具体的范围：



这个范围还是太宽泛了，我们还可以再精准一些：



如果题目的要求还需要更精准，你当然可以继续尝试具体的数字，逐步缩小范围就OK。

知道了隐零点的值的范围，我们能做什么呢？

它在中学数学最大的用处就是把这个存在但没办法具体描述的数，当成一个确定的常数来用，然后瞒天过海完成运算。

比如让你证明这个不等式成立：



很明显，函数定义域大于 -2 。

要证明这个函数大于 0 ，只需要证明它的最小值大于 0 就可以了，我们首先需要搞清楚函数的单调性，求导观察：



为了更明确地观察一阶导函数的单调性，我们可以对一阶导再次求导：



二阶导大于 0 ，说明一阶导函数是单调递增的，令一阶导函数为 0 ：



很明显，我们此处又碰到了隐零点问题，这个方程，我们是没办法解出来的，此时我们可以设 x0 为它的零点，然后尝试代入具体的数值，找到这个零点的大致范围：



因为一阶导函数是单调递增的，所以零点肯定存在，且在 -1 和 0 之间，也就是说：



此时，就有这个等式存在：



用图像来表示导函数和原函数之间的关系，就是这样子：



针对原函数来说：



原函数的最小值为：





最小值比 0 大，就说明原函数是大于 0 的，不等式成立。

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