cosA+cosB+cosC=0，sinA+sinB+sinC=0，证：cos2A+cos2B+cos2C=0，sin2A+sin2B+sin2C=0

wintex

請問數學

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

波斯猫猫

题：若cosA+cosB+cosC=0，sinA+sinB+sinC=0，则cos2A+cos2B+cos2C=0，sin2A+sin2B+sin2C=0.

思路：由条件消去C有2cosAcosB+2sinAsinB=-1，即2cos(A-B)=-1.

又sin2C=2(sinA+sinB)(cosA+cosB)=sin2A+sin2B+2(sinAcosB+cosAsinB)

=sin2A+sin2B+2sin(A+B)=sin2A+sin2B-2[2sin(A+B)cos(A-B)]=sin2A+sin2B-2(sin2A+sin2B)，

故sin2A+sin2B+sin2C=0.

又cosA+cosB=-cosC，sinA+sinB=-sinC，

故cos2C=cos2A+cos2B+2(cosAcosB-sinAsinB)=cos2A+cos2B+2cos(A+B)

=cos2A+cos2B-2[2cos(A+B)cos(A-B)]=cos2A+cos2B-2(cos2A+cos2B)，

故cos2A+cos2B+cos2C=0.

wintex

我是想單純知道紅色箭頭是什么意思

luyuanhong

wintex 发表于 2024-3-3 15:00
我是想單純知道紅色箭頭是什么意思

下面是我依照第 1 楼中证明的思路，猜想给出的详细证明过程：

wintex

波斯猫猫 发表于 2024-3-2 21:39
题：若cosA+cosB+cosC=0，sinA+sinB+sinC=0，则cos2A+cos2B+cos2C=0，sin2A+sin2B+sin2C=0.

思路：由条 ...

謝謝貓貓老師