【资料】a,b,c皆为复数，求值【a+b+c】

dodonaomikiki

题目还是很漂亮的！

dodonaomikiki

解答看起来并不简单啊~~~~~~~看起来，是好题啊！

波斯猫猫

设a,b,c皆为复数，且a^2=b-c，b^2=c-a，c^2=a-b，求a+b+c.

思路：显然a^2+b^2+c^2=0，故k^2=(a+b+c)^2=2(ab+bc+ca) .  (1)

(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2=(b-c)(c-a)+(c-a)(a-b)+(a-b)(b-c)=ab+bc+ca，

即k^2=2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2].   (2)

又a^3+b^3+c^3=a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=0，故k^3=(a+b+c)^3=6abc.   (3)

故k^4/4=(ab+bc+ca)^2=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2abc(a+b+c)=k^2/2+k^4/3，

即k^2(k^2+6)=0.  解得k=0，k=±√6i.

注：有趣，但可以不高大上。

dodonaomikiki

非常之感谢猫猫老师！
语言文字来一下LATEX化

\begin{align*}
显然  \\
a^2+b^2+c^2&=0\\
\Longrightarrow              k^2&=(a+b+c)^2=2(ab+bc+ca) .  (1)\\

(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2=(b-c)(c-a)+(c-a)(a-b)+(a-b)(b-c)\\
&=ab+bc+ca，\\

即k^2&=2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2].   (2)\\

又a^3+b^3+c^3=a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)&=0\\
\Longrightarrow            k^3&=(a+b+c)^3=6abc.   (3)\\

\Longrightarrow            k^4/4=(ab+bc+ca)^2&=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2abc(a+b+c)\\
&=k^2/2+k^4/3，\\

即k^2(k^2+6)&=0.  \\
\Longrightarrow            k&=0，k=±√6i.\\
\end{align*}

dodonaomikiki

原解中这部分推导，至关重要
\begin{align*}

-3abc&=a^3 + b^3  +c^3 -3abc\\
&=(a+b+c)(  a^2 + b^2  +c^2   -ab-bc-ca                  )\\
&=-\frac{   k^3}{2}\\
\Longrightarrow     &=\frac{   k^3}{6}\\
abc&=k^3 \\
\end{align*}