若 α，β，γ 为方程 x^3+2x^2+3=0 的三根，求 (1/α+1/β)(1/β+1/γ)(1/γ+1/α)

波斯猫猫

题：已知α，β，γ为方程的三根x^3+2x^2+3=0，求(1/α+1/β)(1/β+1/γ)(1/γ+1/α)的值。

思路：由条件有α^3+2α^2+3=0，β^3+2β^2+3=0，γ^3+2γ^2+3=0，

故α^2+αβ+β^2=-2(α+β)，γ^2+γβ+β^2=-2(γ+β)，α^2+αγ+γ^2=-2(γ+α)，

即γ(α^2+αβ+β^2)=-2γ(α+β)，α(γ^2+γβ+β^2)=-2α(γ+β)，β(α^2+αγ+γ^2)=-2β(γ+α)。

故γα^2+αγ^2+βα^2+3αβγ+γβ^2+βγ^2+βα^2=-4(αβ+βγ+γα)，

即γα^2+αγ^2+βα^2+γβ^2+βγ^2+βα^2=9 (αβ+βγ+γα=0，αβγ=-3)。

故(1/α+1/β)(1/β+1/γ)(1/γ+1/α)=(γα^2+αγ^2+βα^2+γβ^2+βγ^2+βα^2+2αβγ)/(αβγ)^2=1/3。

kanyikan

由韦达定理得α+β+γ=-2，αβ+βγ+γα=0，αβγ=-3，
由αβ+βγ+γα=0得1/α+1/β+1/γ=0，
所以1/α+1/β=-1/γ，1/β+1/γ=-1/α，1/γ+1/α=-1/β
所以(1/α+1/β)(1/β+1/γ)(1/γ+1/α)=(-1/γ)(-1/α)(-1/β)=-1/(αβγ)=-1/(-3)=1/3

luyuanhong

楼上 kanyikan 的解答很好！已收藏。