\(\Large\textbf{皮亚诺意义上的自然数都是有限数}\)

elim

按照后继公式\(n’=n\cup\{n\}\), 自然数 \(0,1,2,3,\ldots,n’,\ldots \) 是一个集合增列,
\(0,\{0\},\{0,1\},\{0,1,2\},\ldots,\{0,1,2,\ldots,n\},\ldots\)  可见自然数全体\(\mathbb{N}\)
是这个序列的’最小上界’.  理所当然可视为最小超穷数.  它不是任何自然数
的后继且大于每个自然数．这里的大小当然是指集合间的包会关系．
可见没有最大自然数，没有无穷大自然数是由自然数的本质( 皮亚诺公理)
决定的．

elim

任一自然数的后继是比它大的自然数，所以没有最大自然数并且自然数全体是一个无限集。这个无穷集的每个成员都是自然数因而有限。这件事让很多人不能接受或者直接认为这是一个悖论。根据春风先生，恩格斯就没想通这点，故而又恩格斯悖论一说。其实无穷由有穷构成一点都不悖。悖就悖在人们只能想象有穷，于是总以为有大小的东西排成队后一定有个队尾。
一个量若大于每个自然数，就被称为无穷大，由于自然数小于其后继，就不大于任何自然数，所以自然数不是无穷大。从这里也可以看到，无穷大不是任何自然数的后继，不是自然数，或者说不存在无穷大自然数。

短语 \(n\to\infty\)是否是标准分析中的合适公式，是否对应一个\(\mathbb{N}^+\)的子集\(N_E\)，使得 \(n\to\infty\iff n\in N_E\)?
这是一个值得弄清楚的问题。

春风晚霞

elim 发表于 2024-2-7 10:14
任一自然数的后继是比它大的自然数，所以没有最大自然数并且自然数全体是一个无限集。这个无穷集的每个成员 ...

恩格斯悖论一说，出自徐利治《论无限》p30页1—15行。e先生的说法与徐利治先生的说法小同大异，至于【短语 n→∞是否是标准分析中的合适公式，是否对应一个\(\mathbb{N}^+\)的子集\(N_E\)，使得 \(n→∞\iff n∈N_E\)?这是一个值得弄清楚的问题。】请参见现行的《数学分析》教科书，自酌解决！

elim

春风晚霞 发表于 2024-2-7 06:52
恩格斯悖论一说，出自徐利治《论无限》p30页1—15行。e先生的说法与徐利治先生的说法小同大异，至于【 ...

谢谢春风先生的帖子。现有的教科书从来没有 \(n\to\infty\) 与 \(n\in N_E\) 的对应。